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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 So 30.10.2011 | | Autor: | Deztiny |
| Aufgabe | Sei f: X [mm] \Rightarrow [/mm] Y Abbildung. Zeigen Sie:
i.) Für alle Teilmengen A [mm] \subseteq [/mm] X und B [mm] \subseteq [/mm] Y gilt A [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] (f(A)) und f ( [mm] f^{-1} [/mm] (B)) [mm] \subseteq [/mm] B.
ii.) f ist injektiv genau dann, wenn A = [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] ist für jede Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] X.
iii.) f ist surjektiv genau dann, wenn [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] = B ist für jede Teilmenge B [mm] \subseteq [/mm] Y |
Ich habe eine Loesung zu i.) und es wäre schön, wenn jemand diese korriegieren könnte:
i.) Sei x [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und f(x) [mm] \in [/mm] f(A)
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] X und x [mm] \in f^{-1} [/mm] ( f(A) )
(x [mm] \in [/mm] X ist trivial ... kann man hier sagen: "eine Tautologie"? also immer wahr?)
Damit ist x [mm] \in f^{-1} [/mm] ( f(A) ) und es gilt A [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] ( f(A) )
i.) (zweiter Teil)
Sei y [mm] \in [/mm] f( [mm] f^{-1}(B) [/mm] )
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x \ in [mm] f^{-1}(B) [/mm] : f(x) = y
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und f(x) [mm] \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und y [mm] \in [/mm] B
(wieder x [mm] \in [/mm] X immer wahr)
Damit ist y [mm] \in [/mm] B und es gilt, was zu beweisen war: f( [mm] f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B
zu ii.)
Zu zeigen ist: [mm] \forall x_{1},x_{2} \in [/mm] X : [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} \gdw [/mm] A = [mm] f^{-1}( [/mm] f(A) ) für alle A [mm] \subseteq [/mm] X
Hin-Richtung: [mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei f injektiv:
Sei A [mm] \subseteq f^{-1}( [/mm] f(A) ) wahr (siehe i.) )
zu zeigen ist: A [mm] \supseteq f^{-1}( [/mm] f(A) )
Sei also x1,2 [mm] \in f^{-1}( [/mm] f(A) ) ... (ich schreibe jetzt immer schnell x1,2)
[mm] \Rightarrow [/mm] x1,2 [mm] \in [/mm] X und f(x1,2) = f(A)
[mm] \Rightarrow [/mm] x1,2 [mm] \in [/mm] X und [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : f(x1,2) = f(a)
(x1,2 [mm] \in [/mm] X und a [mm] \in [/mm] A immer wahr?)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x1,2) = f(a) (da f(x1) = f(x2) )
Damit ist x1,2 [mm] \in [/mm] A (da x1 = x2 )
Bei der Rückrichtung habe ich probleme.. also bei [mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Danke für eure Zeit,
Gruß, Alexander Blehm
P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 So 30.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Alexander,
> i.) Sei x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und f(x) [mm]\in[/mm] f(A)
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] X und x [mm]\in f^{-1}[/mm] ( f(A) )
> (x [mm]\in[/mm] X ist trivial ... kann man hier sagen: "eine
> Tautologie"? also immer wahr?)
[mm] $x\in [/mm] X$ folgt aus [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $A\subseteq [/mm] X$.
> Damit ist x [mm]\in f^{-1}[/mm] ( f(A) ) und es gilt A [mm]\subseteq f^{-1}[/mm]
> ( f(A) )
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> i.) (zweiter Teil)
> Sei y [mm]\in[/mm] f( [mm]f^{-1}(B)[/mm] )
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x \ in [mm]f^{-1}(B)[/mm] : f(x) = y
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und f(x) [mm]\in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und y [mm]\in[/mm] B
> (wieder x [mm]\in[/mm] X immer wahr)
[mm] $x\in [/mm] X$ folgt hier aus [mm] $x\in f^{-1}(B)$.
[/mm]
> Damit ist y [mm]\in[/mm] B und es gilt, was zu beweisen war: f(
> [mm]f^{-1}(B)) \subseteq[/mm] B
> zu ii.)
>
> Zu zeigen ist: [mm]\forall x_{1},x_{2} \in[/mm] X : [mm]f(x_{1})[/mm] =
> [mm]f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]x_{2} \gdw[/mm] A = [mm]f^{-1}([/mm] f(A) )
> für alle A [mm]\subseteq[/mm] X
>
> Hin-Richtung: [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> Sei f injektiv:
> Sei A [mm]\subseteq f^{-1}([/mm] f(A) ) wahr (siehe i.) )
> zu zeigen ist: A [mm]\supseteq f^{-1}([/mm] f(A) )
> Sei also x1,2 [mm]\in f^{-1}([/mm] f(A) ) ... (ich schreibe jetzt
> immer schnell x1,2)
Die Indizes sind überflüssig. Starte mit "Sei [mm] $x\in f^{-1}(f(A))$." [/mm] und zeige [mm] $x\in [/mm] A$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x1,2 [mm]\in[/mm] X und f(x1,2) = f(A)
Hier muss es [mm] $f(x)\in [/mm] f(A)$ statt $f(x)=f(A)$ heißen, aber wahrscheinlich hast du dich nur vertippt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x1,2 [mm]\in[/mm] X und [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A : f(x1,2) =
> f(a)
> (x1,2 [mm]\in[/mm] X und a [mm]\in[/mm] A immer wahr?)
[mm] $x\in [/mm] X$ wegen [mm] $x\in f^{-1}(f(A))$. [/mm] Die Existenz so eines [mm] $a\in [/mm] A$ folgt aus der Definition von $f(A)$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1,2) = f(a) (da f(x1) = f(x2) )
Aus der Injektivität von $f$ folgt [mm] $x=a\in [/mm] A$.
> Damit ist x1,2 [mm]\in[/mm] A (da x1 = x2 )
> Bei der Rückrichtung habe ich probleme.. also bei
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
Starte wie üblich mit "Seien [mm] $x_1, x_2\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$." [/mm] und zeige [mm] $x_1=x_2$. [/mm] Nutze dabei die Voraussetzung [mm] $A=f^{-1}(f(A))$ [/mm] für [mm] $A=\{x_1\}$.
[/mm]
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
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