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| Aufgabe | Die Abbildung [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^2 \mapsto \IR^2 [/mm] werde hinsichtlich der kanonischen Basis E = [mm] \{e1,e2 \}=\{\vektor{1\\ 0},\vektor{0\\ 1}\}
[/mm]
beschrieben durch die Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 3 }
[/mm]
a) Wir betrachten eine zweite Basis B = [mm] \{b1,b2\} [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] , deren Vektoren folgende Eigenschaften aufweisen: Der erste Vektor b1 ergibt sich aus dem kanonischen Einheitsvektor e1 durch eine Drehung um +30° , und der zweite Vektor b2 ergibt sich aus e2 durch eine Drehung um +60°
Wie lautet die Übergangsmatrix T, die den Basiswechsel von E zu B beschreibt ?
b) Wie lautet die Matrix A* , die der Abbildung [mm] \gamma [/mm] hinsichtlich der Basis B zugeordnet ist |
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Hallo Gemeinde ! Erstmal Danke für eure tolle Hilfe und die Mühen, die Ihr besonders bei so wissensresistenten Usern wie mir habt ;)
1a)
b1= [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} \wurzel{3} & -\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \wurzel{3}} \* \vektor{1\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \wurzel{3}\\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
b2= [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} \wurzel{3} \\ \bruch{1}{2} \wurzel{3}& \bruch{1}{2} } \* \vektor{0\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \wurzel{3}\\ \bruch{1}{2}}
[/mm]
Also ist die gesuchte Matrix T = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} \wurzel{3} & -\bruch{1}{2} \wurzel{3} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} }^{-1} [/mm] ?
b)Ich versteh die Syntax und den ganzen Zusammenhang noch nicht so richtig.
Also in der Aufgabenstellung ist die Abbildung [mm] \gamma [/mm] ja hinsichtlich E beschrieben (durch die Matrix A), aber wenn ich meinen gestrigen Post und dessen Antwort ich zu Grunde lege, müsste die Antwort lauten:
A* =T [mm] \*A\*T^{-1}
[/mm]
jedoch habe ich ein Vierecksschema in Erinnerung, dass die Basistransformationen beschreibt, mal gucken ob ich das erklären kann;
E [mm] \to [/mm] B
[mm] \gamma \to \gamma
[/mm]
Dort fehlen noch Pfeile, von E auf [mm] \gamma [/mm] (durch die Matrix A) bzw B auf [mm] \gamma [/mm] (beschrieben durch A*). Dort würde ich nämlich sagen, dass es von B nach E über [mm] T^{-1} [/mm] , nach [mm] \gamma [/mm] mit A und dann wieder mit T auf die Abbildung hinsichtlich B geht, also
A* = [mm] T^{-1}\*A\*T
[/mm]
EDIT: Hier eine Grafik (Ich weiß, schön ist anders ^^)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Di 01.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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