Abbildungen klassifizieren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Raiden82 |
| Aufgabe | Klassifizieren Sie die folgenden Abbildungen f: R-->R möglichst genau ob sie injektiv,bijektiv,surjektiv oder weder injektiv noch surjektiv sind.
1. 9x+2
2. exp(9x)
3. x+9cosx
4. [mm] 9x^2+2x
[/mm]
|
Hallo
Wie gehe ich daran bzw wie finde ich das raus schon internet gewältzt komme aber nicht auf den Trichter
thx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Fr 28.03.2008 | | Autor: | TMV |
Hallo,
du musst einfach schauen, ob jedem x-Wert genau ein y-Wert (bijektiv, also injektiv und surjektiv), jedem y Wert mind. ein x-Wert(surjektiv), jedem x-Wert ein y Wert(injektiv) über den gesamten Werte-und Definitonsbereich zugeordnet wird
Bsp.: [mm] f(x)=x^2 [/mm] f: R ->R --> weder surjektiv noch injektiv
f:R>0->R --> injektiv, nicht surjektiv
f:R -> R>0 --> surjektiv, nicht injektiv
f:R>0 --> R>0 --> bijektiv
Aufzeichnen der Funktionen hilft!
Hoffe ich hab nichts durcheinander gebracht!
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Klassifizieren Sie die folgenden Abbildungen f: R-->R
> möglichst genau ob sie injektiv,bijektiv,surjektiv oder
> weder injektiv noch surjektiv sind.
>
Du musst genau diese Eigenschaften zeigen oder widerlegen:
Injektiv: [mm] $\forall\,x_1,x_2\in\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)\,=\,f(x_2)$: $x_1=x_2$
[/mm]
Surjektiv: [mm] $\forall\,y\in\IR\;\exists\,x\in\IR$: $f(x)\,=\,y$
[/mm]
Bijektiv: injektiv und surjektiv
Injektiv bedeutet also, dass jeder angenommene Wert im Bildbereich von genau einem Wert im Definitionsbereich getroffen wird. Surjektiv bedeutet, dass jeder Wert im Bildbereich angenommen wird.
> 1. 9x+2
Wähle [mm] $x_1,x_2\in\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)=9x_1+2=9x_2+2=f(x_2)$. [/mm] Wir müssen zeigen, dass [mm] $x_1=x_2$ [/mm] gilt. Dies erhalten wir indem wir beide Seiten der Gleichung mit 2 subtrahieren und durch 9 dividieren. Also ist die Funktion injektiv auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Sei nun [mm] $y\in\IR$ [/mm] ein beliebiger Bildpunkt. Wir prüfen jetzt, ob es ein [mm] $x\in\IR$ [/mm] aus dem Definitionsbereich gibt, so dass $y=9x+2$ erfüllt ist.
Subrahiere beide Seiten wieder mit 2 und dividiere durch 9, so erhälst du, dass du [mm] $x=\frac{y-2}{9}$ [/mm] wählen kannst. Da [mm] $y\in\IR$ [/mm] beliebig gewählt wurde, folgt, dass die Funktion surjektiv auf [mm] $\IR$ [/mm] ist. Und damit bijektiv.
> 2. exp(9x)
Diese Funktion ist injektiv, aber nicht surjektiv. Injektiität geht wie oben. Wende dabei auf beiden Seiten den Logarithmus an und dividiere durch 9. Die Surjektivität ist nicht erfüllt, denn wählen wir [mm] $y\leqslant [/mm] 0$, so gibt es kein [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit der Eigenschaft $y=exp(9x)$, da sie Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt oder anderes formuliert: Sie besitzt einen Tiefpunkt mit dem wert 0.
> 3. x+9cosx
Diese Funktion ist surjektiv aber nicht injektiv.
> 4. [mm] 9x^2+2x
[/mm]
Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv.
Für die letzten 2 habe ich dir zunächst nur Tipps gegeben. Versuche sie zunächst einmal selbst und meld dich falls es schwierigkeiten gibt.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Raiden82 |
Hallo,
das ist sehr gut erklärt ^^ hoffe ich habe es verstanden ich versuch mich mal dran, meld mich falls ich fragen habe
|
|
|
|
