Abbildungen und Mengen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | zeige für die Abbildung [mm] f:M\to [/mm] N sind folgende Bedingungen äquivalent:
a) f ist injektiv
b) für je zwei Teilmengen [mm] M_1, M_2\subset [/mm] M gilt: [mm] f(M_1\cap M_2)= f(M_1)\cap f(M_2) [/mm] |
okay, meine Lösungsansätze dazu:
a) Ich habe 2 Ideen das zu zeigen, ich weiß aber nicht welche Idee dem Gesuchten nahe kommen:
Idee 1:
f ist injektiv falls aus x,x´ [mm] \in [/mm] X und f(x)=f´(x) stets x=x´folgt.
Idee 2:
f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung [mm] g:M\to [/mm] N gibt, so dass gilt [mm] g\circ f=id_N
[/mm]
Beweis:
Seif f injektiv. Dann gibt es zu jedem [mm] m\in [/mm] f(N) genau ein [mm] n\in [/mm] N mit f(n):=m und man definiert g(m):=n. Wenn [mm] n_0\in [/mm] N beliebig ist, dann definiert man weiter [mm] g(m)=n_0 [/mm] für alle [mm] m\in [/mm] M\ f(N). das ergibt eine Abbildung [mm] g:M\to [/mm] N mit [mm] g\circ f=id_N.
[/mm]
Ist umgekehrt [mm] g:M\to [/mm] N mit [mm] g\circ f=id_M [/mm] gegeben und ist f(n)=f(n´) für [mm] n,n´\in [/mm] N, so ist [mm] n=id_n(n)=g(f(n))=g(f(n´))=id_n(n´)=n´.
[/mm]
Also ist f injektiv.
Eine kurze Rückmeldung ob das so richtig ist wäre sehr nett!
MfG
Mathegirl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathegirl,
> Idee 1:
> f ist injektiv falls aus x,x´ [mm]\in[/mm] X und f(x)=f´(x) stets
> x=x´folgt.
Damit kannst du gut arbeiten.
> Idee 2:
> f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung [mm]g:M\to[/mm] N
> gibt, so dass gilt [mm]g\circ f=id_N[/mm]
Hier und im folgenden Beweis hast du M und N verdreht. Nehmen wir also vorübergehend [mm] $f\colon N\to [/mm] M$ an.
Dann ist deine Aussage fast richtig: Sie stimmt falls [mm] $N\not=\emptyset$.
[/mm]
> Beweis:
> Seif f injektiv. Dann gibt es zu jedem [mm]m\in[/mm] f(N) genau ein
> [mm]n\in[/mm] N mit f(n):=m und man definiert g(m):=n. Wenn [mm]n_0\in[/mm] N
> beliebig ist, dann definiert man weiter [mm]g(m)=n_0[/mm] für alle
> [mm]m\in[/mm] M\ f(N).
Und das geht nur für [mm] $N\not=\emptyset$
[/mm]
> das ergibt eine Abbildung [mm]g:M\to[/mm] N mit [mm]g\circ f=id_N.[/mm]
>
> Ist umgekehrt [mm]g:M\to[/mm] N mit [mm]g\circ f=id_M[/mm] gegeben und ist
> f(n)=f(n´) für [mm]n,n´\in[/mm] N, so ist
> [mm]n=id_n(n)=g(f(n))=g(f(n´))=id_n(n´)=n´.[/mm]
> Also ist f injektiv.
Der Beweis ist schön aufgeschrieben und bis auf die eine Kleinigkeit korrekt!
Für die Aufgabe eignet sich aber eher die Definition der Injektivität, wie du sie als Idee 1 genannt hast.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Also würde der "Beweis" den ich als Idee 1 geschrieben haben schon ausreichen?
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also würde der "Beweis" den ich als Idee 1 geschrieben
> haben schon ausreichen?
Mein Gott, natürlich nicht ! "Idee 1" ist doch nur die Definition von Injektivität nochmal abgepinselt !
Zeigen sollst Du:
für die Abbildung $ [mm] f:M\to [/mm] $ N sind folgende Bedingungen äquivalent:
a) f ist injektiv
b) für je zwei Teilmengen $ [mm] M_1, M_2\subset [/mm] $ M gilt: $ [mm] f(M_1\cap M_2)= f(M_1)\cap f(M_2) [/mm] $
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mi 02.11.2011 | | Autor: | davux |
Hallo du,
mach dir mal klar, was die zweite Aussage bedeutet. Was f injektiv aussagt, hast du mit der ersten Idee gesagt.
Nun hast du dem gegenüber zwei Mengen zu denen ein Bild bzw. jeweils ein Bild gehört, die vereinigt gleich sein sollen. Nehmen wir doch einmal an, wir hätten jeweils ein Element aus der ersten und eines aus der zweiten Menge, was bedeutet es für die Bilde?. Welche Bedingungen müssen für die Elemente gelten, was ergibt sich für die Bilder zu den Elementen?
Es geht doch darum zu argumentieren mit einem bestimmten Schluss auf den du hinauswillst. Auf der einen Seite gehst du davon aus, dass f injektiv ist. Das gilt unter den Bedingungen der Definition oder auch mithilfe des Kontrapositionsprinzips, also der 'zweiten' Definition. Dabei sollte dein Ansatz schon passend sein um mit den Argumenten auf die zwei Mengen zu schließen und die unterschiedlichen bzw. gleichen Bilder. Du könntest auch das Kontrapositionsprinzip für die Rückrichtung anwenden und somit zeigen, dass wenn die zweite Aussage nicht gilt, dass dann f auch nicht injektiv ist. Die bedingen ja einander.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo du,
>
> mach dir mal klar, was die zweite Aussage bedeutet. Was f
> injektiv aussagt, hast du mit der ersten Idee gesagt.
> Nun hast du dem gegenüber zwei Mengen zu denen ein Bild
> bzw. jeweils ein Bild gehört, die vereinigt gleich sein
> sollen. Nehmen wir doch einmal an, wir hätten jeweils ein
> Element aus der ersten und eines aus der zweiten Menge, was
> bedeutet es für die Bilde?. Welche Bedingungen müssen
> für die Elemente gelten, was ergibt sich für die Bilder
> zu den Elementen?
> Es geht doch darum zu argumentieren mit einem bestimmten
> Schluss auf den du hinauswillst. Auf der einen Seite gehst
> du davon aus, dass f injektiv ist. Das gilt unter den
> Bedingungen der Definition oder auch mithilfe des
> Kontrapositionsprinzips, also der 'zweiten' Definition.
> Dabei sollte dein Ansatz schon passend sein um mit den
> Argumenten auf die zwei Mengen zu schließen und die
> unterschiedlichen bzw. gleichen Bilder. Du könntest auch
> das Kontrapositionsprinzip für die Rückrichtung anwenden
> und somit zeigen, dass wenn die zweite Aussage nicht gilt,
> dass dann f auch nicht injektiv ist. Die bedingen ja
> einander.
Ich habs mir lange überlegt, ob ich hierzu etwas sage. Ich kann nicht anders (mit Verlaub):
da oben steht nur belangloses , nichts sagendes Geschwafel, dass niemanden weiterbringt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mi 02.11.2011 | | Autor: | davux |
Sowas hab ich mir dabei auch gedacht, aber ich wollte sie etwas zum denken bringen. Schau dir bitte meine andere Antwort noch an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 02.11.2011 | | Autor: | davux |
Also ich habe die Aufgabe auch noch nicht abschließend gelöst. Deshalb möchte ich mal über das Skizzieren eines Beweises hinweg konkret noch den Sachverhalt etwas darstellen um mal eine Idee von mir evtl. mit anderen zu erörtern.
Ich beginne mit dem Umkehrschluss, wenn [mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$.
Dabei ist $A$ die Aussage, $f$ ist injektiv. Und es ist $B$ die Aussage, für zwei Mengen [mm] $M_1 [/mm] , [mm] M_2$ [/mm] gilt: [mm] $f(M_1 \cap M_2) [/mm] = [mm] f(M_1) \cap f(M_2)$.
[/mm]
Die erste Frage wäre schon, wie negiere ich $B$. Wenn ich es in die Aussagenlogik übersetze, dann gilt $y [mm] \in f(M_1 \cap M_2) \gdw [/mm] y [mm] \in (f(M_1) \cap f(M_2))$. [/mm] Das müsste ich negieren. Da werde ich schon leicht unsicher, ob ich diesen großen Umweg machen sollte. Prinzipiell reicht es ja für die Negation der Äquivalenz eine Seite zu negieren.
Grundsätzlich lässt sich diese Äquivalenz ja nicht allgemein annehmen, wo ja eben $f$ ist injektiv ins Spiel kommt, aber das erstmal nur so nebenbei. Ohne dass ich es jetzt aussagenlogisch weiter ausformuliere, gehe ich nach einfacher Überlegung davon aus, dass ich [mm] $\neg [/mm] B$ definieren kann durch: [mm] $f(M_1 \cap M_2) \not= f(M_1) \cap f(M_2)$.
[/mm]
Nächste Frage ist, wann ist das der Fall? Naiv könnte man annehmen, wenn in der Aufgabenstellung nicht gelogen worden ist, dann sobald $f$ nicht injektiv ist. Bei der Suche nach Beispielen, käme man auch zu der Behauptung, dass es der Fall ist, sobald [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] disjunkt sind. Dann hätte man die leere Menge, worauf man $f$ anwendet, bekäme auch die leere Menge heraus, während auf der anderen Seite die Bilder geschnitten werden, die im Allgemeinen nicht disjunkt sein müssen. Ob man damit argumentieren könnte?
Schließlich wäre doch [mm] $y_1 \in f(M_1) [/mm] , [mm] y_2 \in f(M_2)$ [/mm] mit [mm] $y_1 [/mm] = [mm] y_2$ [/mm] (1) und [mm] $x_1 \in M_1 [/mm] , [mm] x_2 \in M_2$ [/mm] mit [mm] $x_1 \not= x_2$ [/mm] (2) die Negation der Definition der Injektivität.
Wenn ich nun also folgern könnte, ausgehend von der Bedingung (1) für f nicht injektiv, eingesetzt in die linke Seite von [mm] $\neg [/mm] B$, dass [mm] $x_1 \not= x_2$ [/mm] gilt,
dann muss gelten, dass aus $f$ injektiv folgt [mm] $f(M_1 \cap M_2) [/mm] = [mm] f(M_1) \cap f(M_2)$.
[/mm]
Ich meine, der Beweis wäre mir auf direktem Wege nicht einleuchtend genug. Es kann aber gut sein, dass der Indirekte nicht so schön wird. Auf jeden Fall bekomme ich schnell Probleme, wenn ich das ganze praktisch angehen möchte.
Wenn ich mir [mm] $y_1 \in f(M_1), y_2 \in f(M_2)$ [/mm] wähle, so dass [mm] $y_1 [/mm] = [mm] y_2$ [/mm] gilt, dann sind [mm] $y_1 [/mm] , [mm] y_2 \in f(M_1) \cap f(M_2)$. [/mm] Nun wollte ich davon ausgehen, dass [mm] $\neg [/mm] B$ gilt. Damit ist entweder [mm] $y_1 \not\in f(M_1 \cap M_2)$ [/mm] oder [mm] $y_2 \not\in f(M_1 \cap M_2)$, [/mm] wenn ich das richtig interpretiere.
Folglich gilt mit [mm] $y_1 [/mm] = [mm] f(x_1)$ [/mm] und [mm] $y_2 [/mm] = [mm] f(x_2)$, $x_1 \not= x_2$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mi 02.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe die Aufgabe auch noch nicht abschließend
> gelöst. Deshalb möchte ich mal über das Skizzieren eines
> Beweises hinweg konkret noch den Sachverhalt etwas
> darstellen um mal eine Idee von mir evtl. mit anderen zu
> erörtern.
>
> Ich beginne mit dem Umkehrschluss, wenn [mm]\neg B \Rightarrow \neg A[/mm].
>
> Dabei ist [mm]A[/mm] die Aussage, [mm]f[/mm] ist injektiv. Und es ist [mm]B[/mm] die
> Aussage, für zwei Mengen [mm]M_1 , M_2[/mm] gilt: [mm]f(M_1 \cap M_2) = f(M_1) \cap f(M_2)[/mm].
>
> Die erste Frage wäre schon, wie negiere ich [mm]B[/mm]. Wenn ich es
> in die Aussagenlogik übersetze, dann gilt [mm]y \in f(M_1 \cap M_2) \gdw y \in (f(M_1) \cap f(M_2))[/mm].
> Das müsste ich negieren. Da werde ich schon leicht
> unsicher, ob ich diesen großen Umweg machen sollte.
Besser nicht...
> Prinzipiell reicht es ja für die Negation der Äquivalenz
> eine Seite zu negieren.
> Grundsätzlich lässt sich diese Äquivalenz ja nicht
> allgemein annehmen, wo ja eben [mm]f[/mm] ist injektiv ins Spiel
> kommt, aber das erstmal nur so nebenbei. Ohne dass ich es
> jetzt aussagenlogisch weiter ausformuliere, gehe ich nach
> einfacher Überlegung davon aus, dass ich [mm]\neg B[/mm] definieren
> kann durch: [mm]f(M_1 \cap M_2) \not= f(M_1) \cap f(M_2)[/mm].
Das ist doch Unfug !
B war: für je zwei Teilmengen $ [mm] M_1, M_2\subset [/mm] $ M gilt: $ [mm] f(M_1\cap M_2)= f(M_1)\cap f(M_2) [/mm] $
Die Negation wäre: es gibt zwei Teilmengen $ [mm] M_1, M_2\subset [/mm] $ M gilt: $ [mm] f(M_1\cap M_2) \ne f(M_1)\cap f(M_2) [/mm] $
>
> Nächste Frage ist, wann ist das der Fall? Naiv könnte man
> annehmen, wenn in der Aufgabenstellung nicht gelogen worden
> ist, dann sobald [mm]f[/mm] nicht injektiv ist. Bei der Suche nach
> Beispielen, käme man auch zu der Behauptung, dass es der
> Fall ist, sobald [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] disjunkt sind. Dann hätte man
> die leere Menge, worauf man [mm]f[/mm] anwendet, bekäme auch die
> leere Menge heraus, während auf der anderen Seite die
> Bilder geschnitten werden, die im Allgemeinen nicht
> disjunkt sein müssen. Ob man damit argumentieren könnte?
> Schließlich wäre doch [mm]y_1 \in f(M_1) , y_2 \in f(M_2)[/mm]
> mit [mm]y_1 = y_2[/mm] (1) und [mm]x_1 \in M_1 , x_2 \in M_2[/mm] mit [mm]x_1 \not= x_2[/mm]
> (2) die Negation der Definition der Injektivität.
> Wenn ich nun also folgern könnte, ausgehend von der
> Bedingung (1) für f nicht injektiv, eingesetzt in die
> linke Seite von [mm]\neg B[/mm], dass [mm]x_1 \not= x_2[/mm] gilt,
> dann muss gelten, dass aus [mm]f[/mm] injektiv folgt [mm]f(M_1 \cap M_2) = f(M_1) \cap f(M_2)[/mm].
>
> Ich meine, der Beweis wäre mir auf direktem Wege nicht
> einleuchtend genug. Es kann aber gut sein, dass der
> Indirekte nicht so schön wird. Auf jeden Fall bekomme ich
> schnell Probleme, wenn ich das ganze praktisch angehen
> möchte.
>
> Wenn ich mir [mm]y_1 \in f(M_1), y_2 \in f(M_2)[/mm] wähle, so dass
> [mm]y_1 = y_2[/mm] gilt, dann sind [mm]y_1 , y_2 \in f(M_1) \cap f(M_2)[/mm].
> Nun wollte ich davon ausgehen, dass [mm]\neg B[/mm] gilt. Damit ist
> entweder [mm]y_1 \not\in f(M_1 \cap M_2)[/mm] oder [mm]y_2 \not\in f(M_1 \cap M_2)[/mm],
> wenn ich das richtig interpretiere.
> Folglich gilt mit [mm]y_1 = f(x_1)[/mm] und [mm]y_2 = f(x_2)[/mm], [mm]x_1 \not= x_2[/mm].
Was für ein Aufwand !!!
Bemerkungen:
1. Die Inklusion $ [mm] f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] $ gilt immer.
2. Sei f injektiv und [mm] M_1,M_2 [/mm] Teilmengen von M. Zu zeigen: $ [mm] f(M_1 \cap M_2) \supseteq f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] $ .
Nehmen wir uns also ein y [mm] \in f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] her. Dann ex. [mm] x_1 \in M_1 [/mm] und [mm] x_2 \in M_2 [/mm] mit: [mm] y=f(x_1)=f(x_2). [/mm] Da f injektiv ist, folgt: [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Damit ist [mm] x_1 \in M_1 \cap M_2, [/mm] also: y=f(x) [mm] \in [/mm] f( [mm] M_1 \cap M_2).
[/mm]
3. Umkehrung. Seien [mm] x_1,x_2 \in [/mm] M und [mm] f(x_1)=f(x_2). [/mm] Zu zeigen: [mm] x_1=x_2. [/mm] Annahme: [mm] x_1 \ne x_2.
[/mm]
Setze [mm] M_1=\{x_1\} [/mm] und [mm] M_2=\{x_2\} [/mm] : Dann ist $ [mm] f(M_1 \cap M_2) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] aber [mm] $f(M_1) \cap f(M_2) \ne \emptyset$. [/mm] Widerspruch.
FRED
|
|
|
| |
|
> Bemerkungen:
>
> 1. Die Inklusion [mm]f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2)[/mm]
> gilt immer.
>
> 2. Sei f injektiv und [mm]M_1,M_2[/mm] Teilmengen von M. Zu zeigen:
> [mm]f(M_1 \cap M_2) \supseteq f(M_1) \cap f(M_2)[/mm] .
>
> Nehmen wir uns also ein y [mm]\in f(M_1) \cap f(M_2)[/mm] her. Dann
> ex. [mm]x_1 \in M_1[/mm] und [mm]x_2 \in M_2[/mm] mit: [mm]y=f(x_1)=f(x_2).[/mm] Da f
> injektiv ist, folgt: [mm]x_1=x_2.[/mm]
>
> Damit ist [mm]x_1 \in M_1 \cap M_2,[/mm] also: y=f(x) [mm]\in[/mm] f( [mm]M_1 \cap M_2).[/mm]
>
> 3. Umkehrung. Seien [mm]x_1,x_2 \in[/mm] M und [mm]f(x_1)=f(x_2).[/mm] Zu
> zeigen: [mm]x_1=x_2.[/mm] Annahme: [mm]x_1 \ne x_2.[/mm]
>
> Setze [mm]M_1=\{x_1\}[/mm] und [mm]M_2=\{x_2\}[/mm] : Dann ist [mm]f(M_1 \cap M_2) = \emptyset[/mm]
> aber [mm]f(M_1) \cap f(M_2) \ne \emptyset[/mm]. Widerspruch.
okay, das ist der Beweis für b.
aber was zeige ich bei a)?
Mich irritiert die Aussage "zeige, dass folgende Bedingungen äquivalent sind"!
MfG
mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Fr 04.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathegirl,
> > 1. Die Inklusion [mm]f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2)[/mm]
> > gilt immer.
> >
> > 2. Sei f injektiv und [mm]M_1,M_2[/mm] Teilmengen von M. Zu zeigen:
> > [mm]f(M_1 \cap M_2) \supseteq f(M_1) \cap f(M_2)[/mm] .
> >
> > Nehmen wir uns also ein y [mm]\in f(M_1) \cap f(M_2)[/mm] her. Dann
> > ex. [mm]x_1 \in M_1[/mm] und [mm]x_2 \in M_2[/mm] mit: [mm]y=f(x_1)=f(x_2).[/mm] Da f
> > injektiv ist, folgt: [mm]x_1=x_2.[/mm]
> >
> > Damit ist [mm]x_1 \in M_1 \cap M_2,[/mm] also: y=f(x) [mm]\in[/mm] f( [mm]M_1 \cap M_2).[/mm]
>
> >
> > 3. Umkehrung. Seien [mm]x_1,x_2 \in[/mm] M und [mm]f(x_1)=f(x_2).[/mm] Zu
> > zeigen: [mm]x_1=x_2.[/mm] Annahme: [mm]x_1 \ne x_2.[/mm]
> >
> > Setze [mm]M_1=\{x_1\}[/mm] und [mm]M_2=\{x_2\}[/mm] : Dann ist [mm]f(M_1 \cap M_2) = \emptyset[/mm]
> > aber [mm]f(M_1) \cap f(M_2) \ne \emptyset[/mm]. Widerspruch.
>
> okay, das ist der Beweis für b.
> aber was zeige ich bei a)?
>
> Mich irritiert die Aussage "zeige, dass folgende
> Bedingungen äquivalent sind"!
Das ist auch keine Aufgabe mit zwei Teilen a) und b), sondern genau wie du sagst, eine zu zeigende Äquivalenzaussage: [mm] $a)\gdw [/mm] b)$.
Dazu zeigt man die Hinrichtung [mm] $a)\Rightarrow [/mm] b)$ und die Rückrichtung [mm] $b)\Rightarrow [/mm] a)$. Ersteres hat Fred in den Punkten 1. und 2. erledigt, letzteres im Punkt 3.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
okay, ich frage bloß, weil mein Übungsleiter mich zu dieser Lösung fragte wo ich i) bewiesen habe. Das würde bei dieser Art der Lösung komplett fehlen..
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> okay, ich frage bloß, weil mein Übungsleiter mich zu
> dieser Lösung fragte wo ich i)
was ist i) ?
> bewiesen habe. Das würde
> bei dieser Art der Lösung komplett fehlen..
Was ist los ?
Kurz und knapp: Du mußt zeigen:
1. aus a) folgt b)
2. aus b) folgt a).
Punktum. Da gibts nichts zu dikutieren.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 04.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> okay, ich frage bloß, weil mein Übungsleiter mich zu
> dieser Lösung fragte wo ich i) bewiesen habe. Das würde
> bei dieser Art der Lösung komplett fehlen..
Vermutlich meinst du das, was bei Fred Bemerkung 1. war. In der Tat hat Fred diese Bemerkung nicht näher bewiesen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > okay, ich frage bloß, weil mein Übungsleiter mich zu
> > dieser Lösung fragte wo ich i) bewiesen habe. Das würde
> > bei dieser Art der Lösung komplett fehlen..
> Vermutlich meinst du das, was bei Fred Bemerkung 1. war.
> In der Tat hat Fred diese Bemerkung nicht näher bewiesen.
Du meinst das
$ [mm] f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2) [/mm] $ ?
Ja , in der Tat, das hab ich nicht bewiesen. Soll ich es nachholen ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Fr 04.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Du meinst das
>
> [mm]f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2)[/mm] ?
Genau. Ich vermute, dass der Übungsleiter das meinte.
> Ja , in der Tat, das hab ich nicht bewiesen. Soll ich es
> nachholen ?
Was meinst du, Mathegirl?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Du meinst das
> >
> > [mm]f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2)[/mm] ?
> Genau. Ich vermute, dass der Übungsleiter das meinte.
>
> > Ja , in der Tat, das hab ich nicht bewiesen. Soll ich es
> > nachholen ?
> Was meinst du, Mathegirl?
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hallo Tobias,
wenn Mathegirl zustimmt, so übernimm bitte Du den Beweis, den ich gehe jetzt thailändisch Essen.
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 04.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> wenn Mathegirl zustimmt, so übernimm bitte Du den Beweis,
> den ich gehe jetzt thailändisch Essen.
Gerne. Dann einen schönen Abend und guten Appetit!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > wenn Mathegirl zustimmt, so übernimm bitte Du den Beweis,
> > den ich gehe jetzt thailändisch Essen.
> Gerne. Dann einen schönen Abend und guten Appetit!
Herzlichen Dank. Dir auch einen schönen Abend
FRED
|
|
|
| |
|
Ja, das wäre toll wenn du das zeigen könntest. Ich glaube das meinte der Übungsleiter eventuell! Aber erklärt hat er dazu nichts weiter.
MfG
mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Fr 04.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, das wäre toll wenn du das zeigen könntest. Ich glaube
> das meinte der Übungsleiter eventuell! Aber erklärt hat
> er dazu nichts weiter.
Zu zeigen ist [mm] $f(M_1\cap M_2)\subseteq f(M_1)\cap f(M_2)$.
[/mm]
Sie also [mm] $n\in f(M_1\cap M_2)$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $n\in f(M_1)\cap f(M_2)$.
[/mm]
Wegen [mm] $n\in f(M_1\cap M_2)$ [/mm] existiert ein [mm] $m\in M_1\cap M_2$ [/mm] mit $f(m)=n$. Es folgt [mm] $m\in M_1$ [/mm] und [mm] $m\in M_2$ [/mm] und damit [mm] $n\in f(M_1)$ [/mm] und [mm] $n\in f(M_2)$. [/mm] Also tatsächlich [mm] $n\in f(M_1)\cap f(M_2)$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | a) A,B,C sind Mengen
[mm] A\cup B=A\cup [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] A=C
[mm] b)A\cap B=A\cap [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] A=C |
Danke für den ausführlichen Beweis.
Hier habe ich noch etwas zu zeigen bzw zu begründen.
a) A=C gilt.
Denn angenommen A=3, B=4 dann haben A und B zusammen 7 Elemente. Wenn A und C auch zusammen 7 Elemente haben sollen muss C logischerweise wie B auch 4 Elemente haben.
b)A=C gilt nicht!
A und B haben im Schnitt die gleiche Anzahl der Elemente wie A und C.
Jedoch gilt nicht A=C weil die Mengen unterschiedlich viele Elemente haben können, lediglich der Schnitt ist gleich.
Sonderfall: B und C haben die gleichen Elemente.
Kann mir jemand helfen das vernünftig zu formulieren bzw zu begründen?
mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Am besten völlig neue Fragen in einen neuen Thread posten. Dann antworten auch die, die sich diesen ellenlangen Vorgängerthread nicht mehr anschauen.
> a) A,B,C sind Mengen
> [mm]A\cup B=A\cup[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] A=C
>
> [mm]b)A\cap B=A\cap[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] A=C
Ich gehe davon aus, dass jeweils am Ende von a) und b) $B=C$ statt $A=C$ gemeint ist. Liege ich richtig?
Bitte poste in Zukunft die volle Aufgabenstellung. Da heißt es vermutlich, man solle prüfen, ob diese Implikationen allgemein gelten?
> a) A=C gilt.
> Denn angenommen A=3, B=4 dann haben A und B zusammen 7
> Elemente. Wenn A und C auch zusammen 7 Elemente haben
> sollen muss C logischerweise wie B auch 4 Elemente haben.
Abgesehen davon, dass das natürlich nur ein Beispiel ist (A,B und C müssen nichtmals endliche Mengen sein): A und B beziehungsweise A und C können Elemente gemeinsam haben. Dann stimmt deine Argumentation nicht.
Die Aussage a) ist im Allgemeinen falsch.
> b)A=C gilt nicht!
> A und B haben im Schnitt die gleiche Anzahl der Elemente
> wie A und C.
> Jedoch gilt nicht A=C weil die Mengen unterschiedlich
> viele Elemente haben können, lediglich der Schnitt ist
> gleich.
> Sonderfall: B und C haben die gleichen Elemente.
Gib ein konkretes Gegenbeispiel an.
|
|
|
| |
|
ich soll es ja nur begründen.
also stimmen a) und b) beide nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> ich soll es ja nur begründen.
Das kannst du am besten mit Gegenbeispielen.
> also stimmen a) und b) beide nicht?
Genau. (Unabhängig davon, ob es in der Aufgabenstellung nun $A=C$ oder $B=C$ heißt.)
|
|
|
| |
|
a) [mm] A\cap B=A\cap [/mm] C dann B=C
Gegenbeispiel:
A={2,4,6,8}
B={1,3}
C={1,2,3,4}
[mm] A\cap [/mm] B= {1,2,3,4,6,8} [mm] =A\cap [/mm] C dann B=C
[mm] B\not= [/mm] C
Gegebeispiel b)
[mm] A\cup B=A\cup [/mm] C dann B=C
A={1,2,3,4,5,6}
B={2,4,6}
C={2,4,6,8,10,12}
[mm] A\cup [/mm] B= [mm] {2,4,6}=A\cup [/mm] C Aber: [mm] B\not= [/mm] C
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Sa 05.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> a) [mm]A\cap B=A\cap[/mm] C dann B=C
>
> Gegenbeispiel:
> A={2,4,6,8}
> B={1,3}
> C={1,2,3,4}
>
> [mm]A\cap[/mm] B= {1,2,3,4,6,8} [mm]=A\cap[/mm] C dann B=C
> [mm]B\not=[/mm] C
>
>
> Gegebeispiel b)
> [mm]A\cup B=A\cup[/mm] C dann B=C
>
> A={1,2,3,4,5,6}
> B={2,4,6}
> C={2,4,6,8,10,12}
> [mm]A\cup[/mm] B= [mm]{2,4,6}=A\cup[/mm] C Aber: [mm]B\not=[/mm] C
Abgesehen von dem Vertipper, dass du [mm] $\cup$ [/mm] und [mm] $\cap$ [/mm] vertauscht hast: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
|
|
|
|
