Abbildungs Matrix bestimmen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | Gegeben sind in der Ebene IR2 die Punkte A(1 | 2) , B(-3 | 2) und C(-1 | 4) sowie die
Abbildung f durch die Gleichung f [mm] (\vec{x})= M*\vec{x} [/mm] mit M= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d} [/mm] und [mm] \vec{x}= \vektor{x_{1} \\x_{2}}
[/mm]
a) Die Bildpunkte der Punkte A und B bezüglich der Abbildung f seien gegeben durch
A'(10 |11) und B'(-6 | -1) .
Bestimmen Sie rechnerisch die Matrix M der Abbildung f. |
das heißt doch erstmal reintheoretisch:
[mm] f(\vec{x})= \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ 11}
[/mm]
oder?
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Hallo DarkJiN,
> Gegeben sind in der Ebene IR2 die Punkte A(1 | 2) , B(-3 |
> 2) und C(-1 | 4) sowie die
> Abbildung f durch die Gleichung f [mm](\vec{x})= M*\vec{x}[/mm] mit
> M= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d}[/mm] und [mm]\vec{x}= \vektor{x_{1} \\x_{2}}[/mm]
>
> a) Die Bildpunkte der Punkte A und B bezüglich der
> Abbildung f seien gegeben durch
> A'(10 |11) und B'(-6 | -1) .
> Bestimmen Sie rechnerisch die Matrix M der Abbildung f.
> das heißt doch erstmal reintheoretisch:
>
> [mm]f(\vec{x})= \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{10 \\ 11}[/mm]
>
> oder?
Für den Punkt A, ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
$ [mm] f(\vec{x})= \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $ * $ [mm] \vektor{-3 \\ 2} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-6 \\ -1} [/mm] $
wäre das dann für b
das hieße also
1b+2b= 10
1c+2d=11
-3a+2b= -6
-3c+2d= -1
oder?
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Hallo DarkJiN,
> [mm]f(\vec{x})= \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{-6 \\ -1}[/mm]
>
> wäre das dann für b
>
> das hieße also
>
> 1b+2b= 10
Hier muss es doch lauten:
[mm]1\blue{a}+2b=10[/mm]
> 1c+2d=11
> -3a+2b= -6
> -3c+2d= -1
>
Sonst sind die Gleichungen richtig.
>
> oder?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
war ein tippfehler. war natürlich 1a+2b= 10 gemeint.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
[mm] \vmat{ 1a & +2b & =10 \\ 1c & +2d & =11 \\ -3a & +2b & =-6 \\ -3c & +2d & =-1 }
[/mm]
wenn ich die erste Zeile mit 3 multipliziere und mit der dritten addiere erhalte ich 24= 8b, also b=3 woraus resultiert, dass a=4 ist
lange rede kurzer Sinn
M = [mm] \pmat{4 & 3 \\ 3 & 4 }
[/mm]
richtig? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Do 03.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\vmat{ 1a & +2b & =10 \\ 1c & +2d & =11 \\ -3a & +2b & =-6 \\ -3c & +2d & =-1 }[/mm]
>
>
> wenn ich die erste Zeile mit 3 multipliziere und mit der
> dritten addiere erhalte ich 24= 8b, also b=3 woraus
> resultiert, dass a=4 ist
>
> lange rede kurzer Sinn
>
>
> M = [mm]\pmat{4 & 3 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
> richtig? :)
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | Gegeben ist zusätzlich die Gerade h: [mm] \vec{x}= [/mm] a* [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
(1) Zeigen Sie, dass alle Punkte der Geraden h durch f auf sich selbst abgebildet werden.
(2) Skizzieren Sie die Gerade h sowie die Punkte A, B, A' , B' in einem kartesischen
Koordinatensystem.
(3) Beschreiben Sie die geometrische Wirkung der Abbildung, indem Sie darstellen, wie
die Bildpunkte A', B' aus den Punkten A, B durch eine geometrische Konstruktion
gefunden werden können. |
Wie komm ich jetzt an die Gerade?
Wofür steht a?
Und genrell wie kann ich zeigen, dass Gerade h durch f sich selbst abbildet?
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Hallo,
> Wofür steht a?
Das ist doch eine ganz normale Parameterdarstellung und a ist der Parameter.
> Und genrell wie kann ich zeigen, dass Gerade h durch f sich
> selbst abbildet?
Indem du die Abbildung auf die Gerade anwendest. Schreibe sie dazu besser so:
[mm] a*\vektor{-1 \\ 1}=\vektor{-a \\ a}
[/mm]
Diesen Vektor multiplizierst du von rechts mit der Abbildungsmatrix. Wenn ein Vielfaches davon herauskommt, ist die Behauptung gezeigt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
entschuldigugn aber ich kann dir nciht ganz folgen.
$ [mm] a\cdot{}\vektor{-1}{1}=\vektor{-a}{a} [/mm] $
Was ist damit gemeint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Do 03.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> entschuldigugn aber ich kann dir nciht ganz folgen.
>
>
> [mm]a\cdot{}\vektor{-1}{1}=\vektor{-a}{a}[/mm]
>
> Was ist damit gemeint?
Sorry, das war ein dummer Tippfehler. Ich habe ihn korrigiert.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
okay danke. Habs jetzt auch gelöst :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
wie kann ich die grade h denn skizieren? Ich hab doch nichtmal den parameter a und keine Koordinaten, nichts..
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Hallo,
eine Gerade im [mm] \IR^2 [/mm] besitzt allgemein die Parameterdarstellung
[mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{s}+t*\overrightarrow{r}
[/mm]
Darin sind:
- [mm] \overrightarrow{s}: [/mm] Stützvektor bzw. Aufpunkt bzw. ca. 157 andere Begriffe. 
- [mm] \overrightarrow{r}: [/mm] Richtungsvektor
In deinem Fall fehlt nder Stützvektor; man könnte auch sagen, der Stützvektor ist der Nullvektor. Dies bedeutet, dass die Gerade durch den Ursprung geht. Und denn Richtungsvektor hast du ja, wo liegt da dein Problem?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 03.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
danke für deine mühen mit der ausführlichen Erklärung was die Gerade angeht. Aber das wusste ich schon.
Ich hab doch keinen richtugnsvektor, oder..?
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Hallo,
Deine Gerade hat die Gleichung
h: [mm] \vec{x}=t*\vektor{-1\\1}, t\in \IR.
[/mm]
t ist der Parameter der Parameterdarstellung, [mm] \vektor{-1\\1} [/mm] ist der Richtungsvektor der Geraden.
Du könntest, wenn Dir sonst etwas fehlt, natürlich auch schreiben
h: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0}+t*\vektor{-1\\1}.
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Fr 04.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
war gestern wohl irgendwie überarbeitet..
jetzt ist mir das ganze klar.
Oh man :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 04.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist, und berechnen
Sie seinen Flächeninhalt.
(2) Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes C' .
(3) Zeigen Sie, dass das Bilddreieck A'B'C' bezüglich der Abbildung f rechtwinklig, aber nicht gleichschenklig ist. |
Das es rechtwikelig und gleichschenkelig ist hab ich rausbekommen, und dasselbe Ergebnis wie in den Lösungen.
Nur beim Flächeninhalt unterscheiden sich die Ergebnisse.
Hier mein Rechenweg samt Lösung:
A= [mm] \bruch{1}{2}g*h
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist die Grundseite, da sie auf der gegenüberliegenden Seite des Rechtenwinkels liegt. (oder?)
h muss also orthogonal auf [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] liegen
[mm] \vektor{-4\\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{n_{1}\\ n_{2}}= [/mm] 0 (Skalarprodukt)
[mm] -4n_{1}+0n_{2}=0
[/mm]
4n1= 0
[mm] n_{1}= [/mm] 0
[mm] \vec{n}= \vektor{0 \\ 1} [/mm]
[mm] n_{2} [/mm] kann ich mir doch aussuchen, weil es mit 0 mutlipliziert wird, oder?
[mm] |\vec{n}|= \wurzel{0^2+1^2}=1
[/mm]
A= [mm] \bruch{3}{4}*4*1
[/mm]
A= 2
Die Lösung sagt 4.
Wieso? :(
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Hallo,
erstens:
> [mm]n_{2}[/mm] kann ich mir doch aussuchen, weil es mit 0
> mutlipliziert wird, oder?
nein, das darfst du hier nicht tun, da die Länge des Vektors von Bedeutung ist. Aber,
zweitens:
weshalb rechnest du das niciht einfach mit den errechneten Bildpunkten nach, am besten, indem du diese angibst?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Sa 05.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
okay, wie mach ich es denn richtig?
Und wie meinst du das mit dem nachrechen mit dem Biuldpunkt?
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Hallo,
> okay, wie mach ich es denn richtig?
>
> Und wie meinst du das mit dem nachrechen mit dem
> Biuldpunkt?
Mit den berechneten Koordinaten von A', B' und C' die Fläche berechnen und die anderen Eigenschaften prüfen.
Gruß, Diophant
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