Abbildungsgleichheit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 28.11.2012 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | Zeigen Sie, das jede Abbildung [mm] \IZ_5 \to \IZ_5 [/mm] also Polynom charakterisiert werden kann, wobei alle [mm] a_n [/mm] und n [mm] \in \IZ_5 [/mm] sind. Sei
[mm] f_k(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x=k \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } k \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] die charakteristische Abbildung von einem Parameter k=0,1,2,3,4, mit Hilfe derer Sie jede Abbildung
[mm] \IZ_5 \to \IZ_5 [/mm] bestimmen können. |
Hallo liebe community,
ich stehe mal wieder auf dem Schlauch.
ich soll ja zeigen das die Menge aller Abbildungen von [mm] \IZ_5 \to \IZ_5 [/mm] gleich der Menge aller Polynome von [mm] \IZ_5 \to \IZ_5 [/mm] ist.
Ansatz:
P=Menge der polynome
[mm] P\subseteq Abb(\IZ_5,\IZ_5)
[/mm]
das lässt sich ja eigentlich leicht sagen, da [mm] Abb(\IZ_5,\IZ_5) [/mm] alle Abbildungen enthält muss die Menge aller Abbildungen via Polynom eine Teilmenge sein.
Mein Problem ist der Beweis von [mm] Abb(\IZ_5,\IZ_5)\subseteq [/mm] P
Ich versteh nich was ich mit der [mm] f_k(x) [/mm] Funktion anfangen soll, wir hatten bis jetzt die nicht in der Vorlesung, etc.
Meine Idee wäre, das ich ein Erzeugendessystem von [mm] Abb(\IZ_5,\IZ_5) [/mm] finde also z.B. [mm] 1,x,x^2,x^3,x^4. [/mm] aber ich verstehe nicht ob das mit der [mm] f_k(x) [/mm] vereinbar ist.
Ich wäre sehr dankbar für Denkanstöße!
Gruß Mike
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Do 29.11.2012 | | Autor: | hippias |
Mein Tip: Informiere Dich zum Thema Interpolation und konstruiere direkt zu beliebiger Funktion ein passendes Polynom. Uebrigens: Streng genommen sollte man bei dieser Aufgabe von Polynomfunktionen statt Polynomen sprechen, da die Menge letzterer unendlich ist, die Menge der Funktionen aber endlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 29.11.2012 | | Autor: | MrPan |
Hallo, vielen Dank für deine Antwort
> Mein Tip: Informiere Dich zum Thema Interpolation und
> konstruiere direkt zu beliebiger Funktion ein passendes
> Polynom. Uebrigens: Streng genommen sollte man bei dieser
> Aufgabe von Polynomfunktionen statt Polynomen sprechen, da
> die Menge letzterer unendlich ist, die Menge der Funktionen
> aber endlich.
Ich weiß was du meinst, mein Problem ist aber das ja alle Koeffizienten aus [mm] \IZ_5 [/mm] sein müssen. z.B. hätte [mm] ich\IZ_3 \to \IZ_3 [/mm] und ich will die Abbildung f(0)=0, f(1)=2 f(2)=0 mi hilfe des polynoms [mm] p(x)=a*x^2+b*x+c [/mm] konstruieren wären a,b [mm] \not\in \IZ_3 [/mm] und das gleiche problem habe ich bei [mm] Z_5
[/mm]
es gibt [mm] 5^5 [/mm] möglich Abbildungen von [mm] \IZ_5 \to \IZ_5, [/mm] meins wissens nach, aber ich schaff es nicht alle besonders die ein [mm] x^2 [/mm] brauchen zu interpolieren.
Verstehe ich die Aufgabe miss?
Gruß Mike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum die Koeffizienten nicht aus [mm] \IZ_3` 4x^2-3x [/mm] tut was du willst oder nur positiv [mm] 4x^2+2x [/mm]
Hast du die Def der [mm] f_K(x) [/mm] richtig aufgeschrieben, sieh bitte nach, weder das gerade, noch für k sonst macht für mich Sinn
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 29.11.2012 | | Autor: | MrPan |
Vielen Dank für deine Antwort!
t> Hallo
> warum die Koeffizienten nicht aus [mm]\IZ_3' 4x^2-3x[/mm] tut was
> du willst oder nur positiv [mm]4x^2+2x[/mm]
> Hast du die Def der [mm]f_K(x)[/mm] richtig aufgeschrieben, sieh
> bitte nach, weder das gerade, noch für k sonst macht für
> mich Sinn
> Gruss leduart
Ja die Aufgabe ist zu zeigen das man jede funktion von [mm] \IZ_5 \to \IZ_5 [/mm] als polynom shreiben kann. P is die Menge aller Polynome mit Koeffezienten und Exponenten aus [mm] \IZ_5, \IZ_5 [/mm] := {0,1,2,3,4} oder?
also [mm] P(\IZ_5)=Abb(\IZ_5,\IZ_5)
[/mm]
funktionen soll man mithilfe der Charakteristischen Funktion schreiben,
um mir das besser vorstellen zu können hab ich erstmal nur [mm] \IZ_3 [/mm] genommen aber ich schaffe es nicht bestimmte Abbildungen als Funktion, unter der Vorraussetzung Koeffezienten und Exp. aus [mm] \IZ_5 [/mm] zu schreiben.
Nochmal das Beispiel
[mm] p(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
p(0)=1
p(1)=2
p(2)=2
das interpolierte polynom wäre ja p(x) = -0,5x² + 1,5x + 1 aber -0,5, 1,5 [mm] \not\in \IZ_3 [/mm] selbes problem natrürlich auch in [mm] \IZ_5
[/mm]
Ich suche verzweifelt meinen Denkfehler, Aufgabe habe ich richtig abgeschrieben. Danke für deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Do 29.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch nicht in [mm] \IQ [/mm] ein Interpolationspolynom suchen? du musst doch in [mm] Z_3 [/mm] rechnen
also [mm] p(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
p(0)=1 =>c=1
p(1)=2 a+b+1=2 mod 3
p(2)=2 a+2b+1=2 mod 3 wegen [mm] 2^2=1mod3 [/mm]
daraus b=0 und a=1
also hast du [mm] p(x)=x^2+1
[/mm]
entsprechend bekommst du wenn du in [mm] Z_5 [/mm] rechnest bis zu 5 gleichungen mit 5 Unbekannten
deine char. fkt hab ich nicht verstanden, so wie es da steht ist [mm] f_1(1)=0 [/mm] x=k aber ungerade. [mm] f_1(x)=0 [/mm] für alle x da 1 ungerade? ebenso [mm] f_3(x) [/mm] das kann nicht gemeint sein
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 30.11.2012 | | Autor: | MrPan |
Hallo, danke für deine Antwort,
jetzt hab ich es verstanden wie es gemeint ist, ich dachte man kann das wie in R als Parabel auffassen mit Nullstellen usw.
Mir ist leider eine Unachsamkeit unterlaufen die char. Funktion ist
[mm] f_k(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k= \mbox{ x} \\ 0, & \mbox{für } \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
das gerade kommt vom Formeleditor, ich hab es vergessen wegzumachen. Entschuldigung!
jetzt zur char funktion [mm] f_0(x)=(1,0,0,0,0) f_1(x)=(0,1,0,0,0). f_2(x)=(0,0,1,0,0) [/mm] usw. laut meinem Buch. Ist das Basis aufzufassen? Sonst könnte man ja sagen das V=Abb(X,X) die gleiche Basis oder Basen haben wie die Menge der Polynom(funktion) und somit gleich sind. Was ich noch nicht verstehe ist wie ich aus der char. Funktion jede beliebige polynom durch 5 punkte herleiten kann.
Vielen Dank für Tips, Erklärungen!
gruß mike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Fr 30.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch zu jedem der char funktionen ein p(x) angeben, dann kannst du alle fkt als linearkombination der [mm] f_k [/mm] oder der [mm] p_k=f_k [/mm] angeben und bist fertig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Fr 30.11.2012 | | Autor: | MrPan |
> Hallo
> du kannst doch zu jedem der char funktionen ein p(x)
> angeben, dann kannst du alle fkt als linearkombination der
> [mm]f_k[/mm] oder der [mm]p_k=f_k[/mm] angeben und bist fertig.
> Gruss leduart
also [mm] p_0(x)=f_0(x)=1, p_1(x)f_1(x)=x, p_2(x)=f_2(x)=x^2 [/mm] usw.
[mm] span(f_0(x),f_1(x),...,f_5(x))={\lambda_0*p_0(x)+\lambda_1*p_1(x)+...\lambda_5*p_5(x)}
[/mm]
mir fehlt aber irgendwie der beweis das [mm] span(f_0(x),f_1(x),...,f_5(x)) [/mm] = [mm] Abb(\IZ_5,\IZ_5)? [/mm] kann ihr hier einfach verwenden das ein polynom n-ten grades durch n+1 vorschriften(punkte) definiert werden kann?
gruß mike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Fr 30.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Polynome, die du angegeben hast sind weit davon entfernt die char, Funktionen anzugeben, das kannst du doch durch Einsetzen sehen?
[mm] f_0(x)=0 [/mm] für x=1,2,3,4 du schreibst f_001
[mm] f_1(1)=1 f_1(x)=0 [/mm] für x=0,2,3,4 du schreist [mm] f_1(x)=x
[/mm]
Bitte schreib in Zukunft die Überlegungen dazu, warum du etwas für eine Lösung oder einen Versuch dazu findest.
Gruss leduart
|
|
|
|
