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| Aufgabe | Geg sind die Vektoren [mm] a_{1}=\vektor{1\\ 1} a_{2}=\vektor{2\\ 3} b_{1}=\vektor{1\\ 4\\1} b_{2}=\vektor{3\\ 1\\2} [/mm]
Bestimme die Abbildungsmatrix derjenigen linearen Abb. [mm] f:\IR^2 \to \IR^3
[/mm]
it f(a1)=b1 und f(a2)=b2 |
Hallihallo!
Ich komm grad so ganz und gar nicht it der Augabe klar und finde auch kein Bsp wie man die so löst.
Ich hab ja das Schema f(x)=A*x
Mich irritiert jetzt etwas dass ich kein x habe bzw wenn ich annehme dass statt x a gesetzt wurde komm ich auch auf keine richtige Lösung.
Wie muss ich vorgehen?
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Guten Tach
also du suchst eine 3x2 Matrix. Um eine Matrix zu einer Linearen abbildung [mm] \alpha [/mm] von [mm] \IR^2 \rightarrow \IR^3 [/mm] zu bestimmen reicht es ja aus, zu wissen was die Abbildung auf den Basisvektoren des [mm] \IR^2 macht(a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] sind eine Basis!! warum??). Jetzt musst du dir eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] wählen. Die beiden angebenen Vektoren bilden ja noch keine Basis. Du kannst dir also zum Beispiel die kanonische Basis des [mm] \IR^3 [/mm] wählen oder auch clever einfach die Beiden Vektoren [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen. Es ist ja nicht angegeben, bzgl welcher basis die Matrix aufgestellt werden soll. Dann musst du die Bilder als Linearkombinationen deiner Basis der [mm] \IR^3 [/mm] darstellen. Die koeffizienten des Jeweiligen basisvektoren bilden dann die Spalten der ABbildungsmatrix.
Ich hoffe ich konnte das verständlich ausdrücken.
Einen schönen Tach noch
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| Aufgabe | Wär es zu viel verlangt dass du mir das mal als Bsp vorrechnest?
Ich steig nicht so ganz durch bei all dem Text...
wär super! |
Danke!
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Also fangen wir mal an.
Du hast eine Abbildung [mm] \alpha :\IR^2 \rightarrow \IR^3 [/mm] mit [mm] \alpha\vektor{1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\4\\1} [/mm] und [mm] \alpha\vektor{2\\3}=\vektor{3\\1\\2}
[/mm]
jetzt nehme ich [mm] b_{1}=\vektor{1\\4\\1} b_{2}=\vektor{3\\1\\2} [/mm] und [mm] b_{3}=\vektor{0\\0\\1}(b_{3} [/mm] kann man beliebig wählen solange [mm] {b_{1}, b_{2}, b_{3}} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden, das musst du nachprüfen!!!!!, wenn das mit dem oben angebenen Vektor nicht passt einen anderen probieren)
Jetzt habe ich eine Basis fixiert [mm] ({b_{1}, b_{2}, b_{3}}). [/mm] Nun muss ich ich schauen auf was der erste Basisvektor [mm] a_{1}=\vektor{1\\1} [/mm] abgebildet wird und das bild dann als linearkombination von [mm] {b_{1}, b_{2}, b_{3}} [/mm] darstellen. also [mm] \alpha\vektor{1\\1}=\summe_{i=1}^{3}k_{i}*b_{i}. [/mm] Die [mm] k_{i} [/mm] bilden dann die die jeweilige Spalte der Abbildungsmatrix.(Du sieht dann warum ich die Basis so gewählt habe!!). Den rest solltest du alleine schaffen.
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