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Forum "Lineare Abbildungen" - Abbildungsmatrix, Rot. um z
Abbildungsmatrix, Rot. um z < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildungsmatrix, Rot. um z: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:24 Mo 14.01.2008
Autor: mab

Aufgabe
Die lineare Abbildung [mm] \IR_{3} \to \IR_{3} [/mm] sei eine Drehung um die z-Achse mit Drehwinkel [mm] \phi [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] und anschließender Spiegelung an der x-y-Ebene. Geben Sie die Abbildungsmatrix an.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Die Spiegelung an der x-y-Ebene ist ja nicht die Schwierigkeit, da werden die z-Koordinaten einfach mit -1 multipliziert. Wie siehts aber mit der Drehung aus? Dass sich die neuen x-/y-Komponenten aus sin und cos Beiträgen zusammensetzen hab ich mir schon überlegt, aber wie drücke ich zum Beispiel aus, dass ja, falls z.B. ein Vektor in seiner Projektion auf die x-y-Ebene bei der Drehung die x- oder y-Achse überstreicht? Dann ändert sich ja das Vorzeichen einer der Komponenten.

        
Bezug
Abbildungsmatrix, Rot. um z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Mo 14.01.2008
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Das ist kein Problem, denn SIN und COS ändern ja auch ihr Vorzeichen, und zwar genau bei 0°, 90°, 180° und 270°, also genau dann, wenn ein Vektor eine Achse überstreicht.

Du mußt nun nur herausfinden, worauf [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und  [mm] \vektor{0\\1} [/mm] abgebildet werden, dann kannst du die Matrix eigentlich schon hinschreiben.

Bezug
                
Bezug
Abbildungsmatrix, Rot. um z: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:16 Mo 14.01.2008
Autor: mab

Es ist also einfacher, sich vorzustellen, dass das zu Grunde liegende Koordinatensystem gedreht wird, nicht ein Element darin, liege ich damit richtig?

Dann wäre die Matrix in der Ebene quasi [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}*\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Abbildungsmatrix, Rot. um z: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mi 16.01.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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