Abbildungsmatrix aufstellen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f eine lineare Abbildung von [mm] \IR^3\to \IR^3, [/mm] die eine 45° Drehung um die Drehachse mit Richtung [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] beschreibt.
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung A von f bezügl. der kaonischen Basis des [mm] \IR^3
[/mm]
Hinweis: Konstruieren Sie zunächst eine Basis [mm] w_1,w_2,w_3 [/mm] mit
[mm] w_1 [/mm] parallel zur Drehachse, [mm] \parallel w_1\parallel=1
[/mm]
[mm] w_2 [/mm] senkrecht zu [mm] w_1, \parallel w_2\parallel=1
[/mm]
[mm] w_3 [/mm] senkrecht zu [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2, \parallel w_3\parallel=1
[/mm]
und stellen Sie die Abbildungsmatrix bzügl. dieser Basis auf. |
Hallo mal wieder.
also [mm] w_1 [/mm] wäre doch [mm] \vektor{a\\a\\0} [/mm] ,mit [mm] \wurzel{2a^2}=1 \gdw a\pm \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
nur dann habe ich doch zwei konkrete. Unendlich viele müßten es doch sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Mo 21.05.2007 | | Autor: | pleaselook |
oder geht es um das Skalarprodukt?
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Hallo!
Dein erster Vektor sieht gut aus, und ja, es gibt unendlich viele Möglichkeiten für die anderen beiden. Aber man kann sich irgendwelche nehmen. Wie wäre es mit (0/0/1) und (1/-1/0) (natürlich normiert...)?
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für [mm] w_2 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] meinst du.
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wie bekomme ich nun die Abbildungsmatrix, oder ist [mm] A=\pmat{w_1,w_2,w_3} [/mm] bezüglich dieser basis?
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Nunja, du hast jetzt also eine Basis <w>. Wenn du diese vektoren zeilenweise untereinander schreibst, bekommst du doch die Transformationsmatrix [mm] T_{w\to e} [/mm] von der basis <w> in die normale Basis <e> . Davon gibts natürlich ne Umkehrmatrix [mm] T_{e\to w}
[/mm]
Jetzt hast du einen Vektor [mm] \vec{x}_e [/mm] der Basis <e>. der muß in die Basis <w>:
[mm] $\vec{x}_w=T_{e\to w} \vec{x}_e$
[/mm]
Jetzt wird gedreht. Die Drehmatrix O sollte dir bekannt sein, oder?
[mm] $\vec{X}_w=O\vec{x}_w=OT_{e\to w} \vec{x}_e$
[/mm]
Dummerweise sind wir immernoch in der Basis <w>, also zurück in die normale:
[mm] $\vec{X}_e=T_{w\to e}\vec{X}_w=T_{w\to e}OT_{e\to w} \vec{x}_e$
[/mm]
Die drei matrizen rechts kannst du dann noch zu einer einzigen zusammenfassen, das ist die gesuchte.
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Leider ist mir die Drehmatrix O nicht bekannt.
Ist diese denn in der Basis W einfacher als in E?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 23.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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