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| Aufgabe | Es sei $f$ eine lineare Abbildung eines 4-dimensionalen Vektorraums $V$ mit der Basis [mm] $x_1, x_2, x_3, x_4$ [/mm] in einen 3-dimensionalen Vektorraum $W$ mit der Basis [mm] $y_1, y_2, y_3$, [/mm] die durch folgende Angaben definiert ist:
[mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] 5y_1 [/mm] + [mm] 3y_2 [/mm] + [mm] 2y_3$
[/mm]
[mm] $f(x_2) [/mm] = [mm] 3y_1 [/mm] + [mm] 4y_2 [/mm] - [mm] y_3$
[/mm]
[mm] $f(x_3) [/mm] = [mm] -y_1 [/mm] + [mm] 2y_2 [/mm] - [mm] 3y_3$
[/mm]
[mm] $f(x_4) [/mm] = [mm] -2y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] - [mm] 3y_3$
[/mm]
Geben Sie die zu $f [mm] \in$ [/mm] Linab($V, W$) bezüglich der vorgegebenen Basen gehörige Matrix an. |
Hallo erst mal!
Ich dachte immer, eine lineare Abbildung würde aus einem Urbild (aus dem Vektorraum $V$) ein Bild (im Vektorraum $W$) machen. Aber hier werden, um ein Bild von $x [mm] \in [/mm] V$ zu kreieren, schon Bildvektoren $y$ verwendet. Wie kann das sein? Erhält man die $y$-Vektoren nicht überhaupt erst dadurch, dass man irgendetwas mit den $x$-Vektoren anstellt?
Und wenn man eine lineare Abbildung aus dem 4-dimensionalen Raum in den 3-dimensionalen Raum produziert, dann werden doch aus den 4-dimensionalen Vektoren plötzlich 3-dimensionale ... aber hier hat der Bildvektor doch auch wieder 4 Dimensionen? Jede Koordinate des Bildvektors $f(x)$ ergibt sich durch die entsprechenden Gleichungen im Gleichungssystem und da zähle ich 4.
Was übersehe ich hier? Wenn ich das verstanden habe, bekomme ich die Lösung der Aufgabe bestimmt selbst hin, ich habe nur im Moment gar keine Ahnung, wie ich da überhaupt rangehen soll, weil mir das Ganze irgendwie widersprüchlich vorkommt. Vielen Dank für jegliche Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi schau mal in Wikipedia mal unter Abbildungsmatrix nach fallst du es noch nicht gemacht hast. Ist so zimmlich gut erklärt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Bildraum hast du nur die 3 basisvektoren y1,y2,y3
wenn du die bilder von 4 beliebigen lin unabh, Vektoren aus den [mm] R^4 [/mm] kennst, dann kannst du damit- da die Abb- linear ist die Bilder aller Vektoren bilden! aus deren linearkombination.
so kann man eine lineare Abbildung also insbesondere angeben, indem man die bilder der Basisvektoren angibt.
hier werden die Bilder alle durch die 3 Basisvektoren von W angegeben. [mm] f(\vektor{1\\0\\0\\0)}=\vektor{5 \\3\\2} [/mm]
Gruss leduart
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