Abbildungsmatrix bilden < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Abbildung P soll den Raum in Richtung der 1. Achse auf die Ebene E (E : x - y = 0) projizieren. Begründen Sie, dass die erste Spalte der Abbildungsmatrix P nur Nullen enthält und bestimmen Sie die zweite und dritte Spalte der Matrix P.
Entnommen aus dem Landesabitur 2007 Hessen B2 |
Hallo,
mal wieder eine Frage zu linearen Abbildungen. Mein Ansatz war einen allgemeinen Punkt P zu definieren $P(x|y|z)$ und dann folgende Gerade zu formulieren:
$g : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + r [mm] \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Dann ermittle ich einen Schnittpunkt mit der Ebene, für den gilt $r = -x + y$ => in g eingesetzt bedeutet das:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + (-x + y) [mm] \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{y \\ y \\ z}$
[/mm]
Daher kommt eine fehlerhafte Matrix $P = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$ [/mm] heraus, in den Lösungen steht:
$P = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$
[/mm]
Wie kommt man darauf?
Mal eine allgemeine Frage: Wie kann man auf dem leichtesten Weg die Ebene x - y = 0 skizzieren?
Grüße
Joe
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Hallo JoeSunnex,
> Die Abbildung P soll den Raum in Richtung der 1. Achse auf
> die Ebene E (E : x - y = 0) projizieren. Begründen Sie,
> dass die erste Spalte der Abbildungsmatrix P nur Nullen
> enthält und bestimmen Sie die zweite und dritte Spalte der
> Matrix P.
>
> Entnommen aus dem Landesabitur 2007 Hessen B2
>
> Hallo,
>
> mal wieder eine Frage zu linearen Abbildungen. Mein Ansatz
> war einen allgemeinen Punkt P zu definieren [mm]P(x|y|z)[/mm] und
> dann folgende Gerade zu formulieren:
>
> [mm]g : \vec{x} = \vektor{x \\ y \\ z} + r \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Dann ermittle ich einen Schnittpunkt mit der Ebene, für
> den gilt [mm]r = -x + y[/mm] => in g eingesetzt bedeutet das:
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] + (-x + y) [mm]\cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{y \\ y \\ z}$[/mm]
>
> Daher kommt eine fehlerhafte Matrix [mm]P = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> heraus, in den Lösungen steht:
> [mm]P = \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Wie kommt man darauf?
>
Es muss doch gelten:
[mm]\pmat{y \\ y \\ z}=P\pmat{x \\ y \\ z}[/mm]
Bei Deinem errechneten P ergibt sich:
[mm]\pmat{y \\ y \\ z} \not=\pmat{0 \\ x+y \\ z}[/mm]
> Mal eine allgemeine Frage: Wie kann man auf dem leichtesten
> Weg die Ebene x - y = 0 skizzieren?
>
Zeichne die WInkelhalbierdende in ein räumliches KS ein.
Und ziehe durch 2 Punke auf der Winkelhalbierenden
Parallelen zu z-Achse.
> Grüße
>
> Joe
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> Es muss doch gelten:
>
> [mm]\pmat{y \\ y \\ z}=P\pmat{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Bei Deinem errechneten P ergibt sich:
>
> [mm]\pmat{y \\ y \\ z} \not=\pmat{0 \\ x+y \\ z}[/mm]
Warum muss das obige gelten, ich dachte in diesem Fall wären die Punkte der Ebene Fixpunkte der Abbildungsmatrix also im Grunde $P [mm] \cdot \pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{x \\ y \\ z}$
[/mm]
Deine untere Rechnung kann ich nachvollziehen.
Wie sähe denn der passende Ansatz aus? Stehe irgendwie auf dem Schlauch, wahrscheinlich die Vorfreude aufs Abi nächste Woche :)
> Zeichne die WInkelhalbierdende in ein räumliches KS ein.
> Und ziehe durch 2 Punke auf der Winkelhalbierenden
> Parallelen zu z-Achse.
Meinst du mit der Winkelhalbierenden, die Winkelhalbierende der y-z-Ebene = "Verlängerung der x-Achse"?
> Gruss
> MathePower
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mo 12.03.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
x-y=0 ist doch auch y=x, WH in x-y Ebene, z beliebig, darüber und darunter.
2. eine lin Abb findest du am leichtesten, wenn du weisst, wie die 3 vektoren e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) und e3=(0,0,1) abgebildet werden, das ergibt die Spalten der Abbildungsmatrix!
wenn in x-richtung projiziert wird, was heisst das für e1? für e2, für e3
ein allgemeiner punkt (x,y,z) ist ja x*e1+y*e2+z*e3, deshalb bruchst du nur die bilder der 3 e
(für jeden pkt in der ebene gilt doch y=x
wenn du also die y komponente in der ebene kennst, dann auch die x Komponente.)
Gruss leduart
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