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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Abbildungsmatrix gesucht
Abbildungsmatrix gesucht < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildungsmatrix gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Do 23.02.2012
Autor: JoeSunnex

Aufgabe
Gesucht sind die Abbildungsmatrizen für folgende lineare Abbildungen $f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR^2$ [/mm]

c) Spiegelung an der Geraden $y = [mm] -\frac{1}{2}x$ [/mm]
f) Projektion parallel zur Winkelhalbierenden $y = x$ auf die y-Achse


Hallo zusammen,

diesmal eine Frage zu linearen Abbildungen. Bei Aufgabenteil c habe ich einen Ansatz, den ich hier anfüge, bei f bin ich jedoch ratlos.

c)

Ich wähle einen Punkt [mm] $P(x_0|y_0)$. [/mm]
Eine orthogonale Gerade zu $y = [mm] -\frac{1}{2}x$ [/mm] durch den Punkt P ist: [mm] $y=2(x-x_0)+y_0$. [/mm]

Nun bestimme ich den Schnittpunkt beider Geraden:

[mm] $-\frac{1}{2}x [/mm] = [mm] 2(x-x_0)+y_0$ [/mm] => $x = [mm] \frac{4}{5}x_0 [/mm] - [mm] \frac{2}{5}y_0$ [/mm]
Nun setze ich die Stelle des Schnittpunktes in $y = [mm] -\frac{1}{2}x$ [/mm] ein und erhalte für $y = [mm] -\frac{2}{5}x_0 [/mm] + [mm] \frac{1}{5}y_0$. [/mm]
=> [mm] $S\left(\frac{4}{5}x_0 - \frac{2}{5}y_0 | -\frac{2}{5}x_0 + \frac{1}{5}y_0\right) [/mm]
Der Spiegelpunkt [mm] $P'(x_0 [/mm] ' | [mm] y_0 [/mm] ')$ lässt sich durch Addition von $2 [mm] \cdot \vec{P_0S}$ [/mm]  von P aus erreichen.
=> $2 [mm] \cdot \vec{P_0S} [/mm] = [mm] \vektor{-\frac{2}{5}x_0 - \frac{4}{5}y_0 \\ -\frac{4}{5}x_0 - \frac{8}{5}y_0}$ [/mm]
=> [mm] $x_0 [/mm] ' = [mm] -\frac{2}{5}x_0 [/mm] - [mm] \frac{4}{5}y_0$ [/mm] und [mm] $y_0 [/mm] ' = [mm] -\frac{4}{5}x_0 [/mm] - [mm] \frac{8}{5}y_0$ [/mm]
=> $A = [mm] \pmat{ -\frac{2}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & - \frac{8}{5} }$ [/mm]

=> Die Lösung hat hierzu was anderes => $A = [mm] \pmat{ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & - \frac{3}{5} }$ [/mm]

Ist meine Lösung oder die des Lösungsbuchs falsch und wenn es meine betrifft - warum?

Edit: Ich glaube ich habe die Lösung, meine ist falsch, weil ich noch den Ausgangspunkt P zu den Abbildungsgleichungen addieren muss oder?

f) ähnlicher Aufbau bloß wird die Gerade durch P mit der Steigung m = 1 bearbeitet

Würde mich über Feedback freuen.

Grüße

Joe

        
Bezug
Abbildungsmatrix gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Do 23.02.2012
Autor: MathePower

Hallo JoeSunnex,

> Gesucht sind die Abbildungsmatrizen für folgende lineare
> Abbildungen [mm]f: \IR^2 \rightarrow \IR^2[/mm]
>  
> c) Spiegelung an der Geraden [mm]y = -\frac{1}{2}x[/mm]
>  f)
> Projektion parallel zur Winkelhalbierenden [mm]y = x[/mm] auf die
> y-Achse
>  
> Hallo zusammen,
>  
> diesmal eine Frage zu linearen Abbildungen. Bei
> Aufgabenteil c habe ich einen Ansatz, den ich hier anfüge,
> bei f bin ich jedoch ratlos.
>  
> c)
>  
> Ich wähle einen Punkt [mm]P(x_0|y_0)[/mm].
>  Eine orthogonale Gerade zu [mm]y = -\frac{1}{2}x[/mm] durch den
> Punkt P ist: [mm]y=2(x-x_0)+y_0[/mm].
>  
> Nun bestimme ich den Schnittpunkt beider Geraden:
>  
> [mm]-\frac{1}{2}x = 2(x-x_0)+y_0[/mm] => [mm]x = \frac{4}{5}x_0 - \frac{2}{5}y_0[/mm]
>  
> Nun setze ich die Stelle des Schnittpunktes in [mm]y = -\frac{1}{2}x[/mm]
> ein und erhalte für [mm]y = -\frac{2}{5}x_0 + \frac{1}{5}y_0[/mm].
>  
> => [mm]$S\left(\frac{4}{5}x_0 - \frac{2}{5}y_0 | -\frac{2}{5}x_0 + \frac{1}{5}y_0\right)[/mm]
>  
> Der Spiegelpunkt [mm]P'(x_0 ' | y_0 ')[/mm] lässt sich durch
> Addition von [mm]2 \cdot \vec{P_0S}[/mm]  von P aus erreichen.
>  => [mm]2 \cdot \vec{P_0S} = \vektor{-\frac{2}{5}x_0 - \frac{4}{5}y_0 \\ -\frac{4}{5}x_0 - \frac{8}{5}y_0}[/mm]

>  
> => [mm]x_0 ' = -\frac{2}{5}x_0 - \frac{4}{5}y_0[/mm] und [mm]y_0 ' = -\frac{4}{5}x_0 - \frac{8}{5}y_0[/mm]
>  
> => [mm]A = \pmat{ -\frac{2}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & - \frac{8}{5} }[/mm]
>  
> => Die Lösung hat hierzu was anderes => [mm]A = \pmat{ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & - \frac{3}{5} }[/mm]
>  
> Ist meine Lösung oder die des Lösungsbuchs falsch und
> wenn es meine betrifft - warum?


Berechnet hast Du nur diejenige Abbildungsmatrix,
die angibt, um wieviel der Ausgangspunkt  zu verschieben
ist, um den Spiegelpunkt zu erhalten.


>  
> Edit: Ich glaube ich habe die Lösung, meine ist falsch,
> weil ich noch den Ausgangspunkt P zu den
> Abbildungsgleichungen addieren muss oder?
>  


Ja, das ist richtig.


> f) ähnlicher Aufbau bloß wird die Gerade durch P mit der
> Steigung m = 1 bearbeitet
>  


Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.


> Würde mich über Feedback freuen.
>  
> Grüße
>  
> Joe


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Abbildungsmatrix gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Do 23.02.2012
Autor: JoeSunnex

Schon mal danke MathePower, ich dachte mir, dass dieser Fehler vorliegt :)

also f)

Ausgangspunkt: [mm] $P(x_0 [/mm] | [mm] y_0)$ [/mm]

Gesucht wird Gerade durch P und parallel zu $y = x$
=> $m = 1$
=> $b= [mm] -x_0 [/mm] + [mm] y_0$ [/mm]
=> $y = x - [mm] x_0 [/mm] + [mm] y_0$ [/mm]

Schnittpunkt mit y-Achse => $x = 0$
=> $y = [mm] -x_0 [/mm] + [mm] y_0$ [/mm]
=> [mm] $S_y(0 [/mm] | [mm] -x_0 [/mm] + [mm] y_0)$ [/mm]

=> [mm] $x_0 [/mm] ' = 0$
=> [mm] $y_0' [/mm] = [mm] -x_0 [/mm] + [mm] y_0$ [/mm]

=> $A = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ -1 & 1 }$ [/mm]

Ich glaube so langsam habe ich das Konzept verstanden :)

Bezug
                        
Bezug
Abbildungsmatrix gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Do 23.02.2012
Autor: MathePower

Hallo JoeSunnex,

> Schon mal danke MathePower, ich dachte mir, dass dieser
> Fehler vorliegt :)
>  
> also f)
>  
> Ausgangspunkt: [mm]P(x_0 | y_0)[/mm]
>  
> Gesucht wird Gerade durch P und parallel zu [mm]y = x[/mm]
>  => [mm]m = 1[/mm]

> => [mm]b= -x_0 + y_0[/mm]
>  => [mm]y = x - x_0 + y_0[/mm]

>  
> Schnittpunkt mit y-Achse => [mm]x = 0[/mm]
>  => [mm]y = -x_0 + y_0[/mm]

>  =>

> [mm]S_y(0 | -x_0 + y_0)[/mm]
>  
> => [mm]x_0 ' = 0[/mm]
>  => [mm]y_0' = -x_0 + y_0[/mm]

>  
> => [mm]A = \pmat{ 0 & 0 \\ -1 & 1 }[/mm]
>  


[ok]


> Ich glaube so langsam habe ich das Konzept verstanden :)


Gruss
MathePower

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