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| Aufgabe | Betrachten Sie die linearen Abbildungen $f: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^3$ [/mm] und $g: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^3$ [/mm] definiert durch
$f(x) := [mm] \vektor{ x_1 + x_3 \\ x_2 - x_3 \\ x_1 + x_2 - x_3}$, [/mm] $g(x) := [mm] \vektor{x_1 + x_2\\ x_2 + x_3 \\ x_1 - x_3}$, [/mm]
wobei $x = [mm] (x_1, x_2, x_3)^T$ [/mm] und die Basen
$ B:= [mm] \{ \vektor{1 \\ 1 \\ 0 },\vektor{2 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 } \} [/mm] , B' := [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 },\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } \} [/mm] $
des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
1. Berechnen Sie die (Abbildungs-) Matrix von $f$ und $g$ bezüglich $(B,B)$.
2. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix von B nach B' und B' nach B.
3. Wie sieht die (Abbildungs-) Matrix von $f$ bezüglich (B', B') aus.
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Ich hatte schon mal so eine ähnliche Aufgabe. Da sollte ich die Abbildungsmatrix anhand der kanonischen Basis bestimmen und habe es auch irgendwie richtig gemacht, auch wenn ich den Vorlesungsstoff verpasst habe. Ich kam noch nicht dazu mir von jemanden das Skript zu kopieren und nun frage ich, ob mir jemand erklären kann, wie das geht.
Zur kanonischen Basis wäre es bei $f(x) [mm] \pmat{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 }$
[/mm]
Vielleicht hab ich ja nur ein Brett vor dem Kopf, dass ich nicht auf Anhieb durchblicke...
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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Hallo im Prinzip machst du es genau so!
Nur nimmst du anstatt deiner kanonischen Basis die Basis die in der Aufgabe steht. Das heisst du berechnest bei 1) [mm] M^{B}_{B}(f) [/mm] und [mm] M^{B}_{B}(g) [/mm] bei 3) Das selbe nur mit den Basen B´ .
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Habe ich immer noch nicht verstanden. Kannst du das genauer erklären? Muss ich dann einfach nur alles mit Basen multiplizieren oder wie?
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Hi
Also: Du berechnest die Bilder:
f( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] Das selbe machst du auch mit den anderen Vektoren aus deiner Basis. Nun hast du drei Bilder. Die Spalten der gesuchten Matrix sind jetzt ganz einfach da die spalten gerade die bilder der basis B sind weil du ja [mm] M^{B}_{B} [/mm] suchst. Mit der 3) machst du das genau so.
Eine etwas längere rechnung wäre: [mm] M^{B}_{B'} [/mm] da du die bilder als linearkombination der Basis B´darstellen musst. Ist es einleuchtend. Versuch mal die aufgabe zu machen und dann kannst du die hier posten dann kann ich mal rübersehen 
Gruß
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Ich habe die Matrizen für $f [mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1}$ [/mm] und $g [mm] \pmat{ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0}$ [/mm] rausbekommen.
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Nächstes Problem: Aufgabe 2
Ich habe im Internet gesucht und folgende Seite über ![[]](/images/popup.gif) Übergangsmatrizen gefunden. Jedoch habe ich das Gefühl, dass das nicht das Richtige ist. Deshalb würde ich mich freuen, wenn mir jemand erklärt, was für Übergangsmatrizen gemeint sind und wie man diese ermittelt.
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Do 13.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke gesucht ist die Matrix, die den Basiswechsel herstellt. meist Transformationsmatrix [mm] T^B_B' [/mm] genannt.
siehe ewa hier
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Do 13.12.2007 | | Autor: | Syladriel |
Teil 3 müsste als Ergebnis
[mm] $A=\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1}$
[/mm]
haben.
Wäre schön, wenn mir jemand auf meine noch offene Frage antwortet.
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
