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| Aufgabe | Gegeben sind die Polynombasen P [mm] (t^2,(t-1)^2,(t+1)^2), Q(1,t+1,t^2+t+1) [/mm] und [mm] B(1,t,t^2). [/mm] In dieser Aufgabe wird die Abbildung F: [mm] \IR_{2}[/mm] [t] [mm] \to \IR_{2}[/mm] [t] definiert duch
F: [mm] s(t)\mapsto [/mm] s(t) + s'(t) + t*s''(t),
genauer untersucht.
a) Zeigen Sie, dass F ein Endomorphismus ist.
b) Wie lautet die Abbildungsmatrix [mm] [F]_{B,B}, [/mm] welche die lineare Abbildung F in der kanonischen Basis B = [mm] (1,t,t^2) [/mm] darstellt?
c)wie lauten die Abbildungsmatrizen [mm] [F]_{P,P} [/mm] und [mm] [F]_{Q,Q} [/mm] die F in den Basen P bzw. Q darstellen |
Hallo
Ich habe wieder einmal ein kleines Problem mit der mir aufgetragenen Aufgabe. D.h. ich bin mir sehr unsicher ob mein Lösungsweg stimmt...
Zu a) F ist dann ein Endomorphismus, wenn es eine lineare Abbildung ist und wenn der Startraum = Zielraum ist.
Nun der Startraum ist ja gleich dem Zielraum, da F: [mm] \IR_{2}[/mm] [t] [mm] \to \IR_{2}[/mm] [t] . Nun soll ich zeigen, dass F eine lineare Abbildung ist.
Dass habe ich wie folgt gemacht:
Für f,g [mm] \in \IR_{2}[/mm] [t] und [mm] \alpha, \beta \in \IR
[/mm]
[mm] F(\alpha*f [/mm] + [mm] \beta*g) [/mm] = [mm] (\alpha*f [/mm] + [mm] \beta*g)+(\alpha*f [/mm] + [mm] \beta*g)'+(\alpha*f [/mm] + [mm] \beta*g)'' [/mm]
[mm] =\alpha(f+f'+f'') [/mm] + [mm] \beta(g+g'+g'') =\alpha*F(f) +\beta*F(g)
[/mm]
Kann ich so zeigen, dass F ein Endomorphismus ist??
zu b)Hier ist es mir relativ klar was ich machen soll, ich schreibe einfach alles in ein gleichungssystem
F(1)=(t)*1+(t)*0+(t)*0*t = t
F(t)=(t)*t+(t)*1+(t)*0*t = [mm] t^2+t
[/mm]
[mm] F(t^2)=(t)*t^2 [/mm] +(t)*2t +(t)*2*t = [mm] t^3+2t^2+2t^2
[/mm]
und so erhalte ich [mm] [F]_{B,B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\0 & 0 & 1}
[/mm]
Kann dass stimmen?
zu c) Hier ist nun das grosse Problem, dass ich nicht weiss wie ich die Basen genau in das Gleichungssystem reinschreiben soll...
d.h. als beispiel für die Basis P [mm] (t^2,(t-1)^2,(t+1)^2)
[/mm]
[mm] F(t^2)=...
[/mm]
[mm] F((t-1)^2)= [/mm] ...
[mm] F((t+1)^2)=...
[/mm]
oder mit den Vektoren
[mm] F(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=...
[/mm]
[mm] F(\vektor{1 \\ -2 \\ 1})= [/mm] ...
[mm] F(\vektor{1 \\ 2 \\ 1})= [/mm] ...
oder mit den Vektoren inkl. t
[mm] F(\vektor{0 \\ 0 \\ t^2})=...
[/mm]
[mm] F(\vektor{1 \\ -2t \\ t^2})= [/mm] ...
[mm] F(\vektor{1 \\ 2t \\ t^2})= [/mm] ...
da ich ja s, einmal bzw. zweimal differenzieren muss, glaube ich eben, dass ich die t falst zwingend miteinbinden muss...
Ich bin sehr dankbar für eure Hilfe, da ich mir so unsicher bin, komme ich wirklich einfach nicht weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 24.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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