Abbildungsmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Di 13.12.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es seinen f: [mm] IR^{3} [/mm] --> [mm] IR^{2} [/mm] , (x,y,z) --> (3z+x-y, 2x-2y+z) eine lineare Abbilung und D ( ( [mm] \vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1} [/mm] eine Basis von [mm] IR^{2}. [/mm] Weiter sei [mm] E_{i} [/mm] die kanonische Basis von [mm] IR^{i} [/mm] für i [mm] \in [/mm] {2,3}.
a) Bestimme die Abbildungsmatrizen [mm] _{E3}M_{E2}(f) [/mm] und [mm] _{E3}M_{D}(f).
[/mm]
Im [mm] IR^{3} [/mm] sei nun [mm] B=(b_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\1}, b_{2} =\vektor{1 \\ -2 \\0}, b_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] und ein Endomorphismus [mm] \alpha [/mm] von [mm] IR^{3} [/mm] gegeben durch [mm] \alpha(b_{1}) [/mm] = [mm] b_{1}+b_{3} [/mm] , [mm] \alpha^{2}(b_{1}) [/mm] = [mm] -b_{2}-2b_{1} [/mm] und [mm] \alpha^{3}(b_{1})=-8b_{1}-6b_{2}+4b_{3}
[/mm]
b) Bestimme [mm] _{B}M_{B}(\alpha) [/mm] von [mm] \alpha [/mm] bezgl. B. ist [mm] \alpha [/mm] bijektiv?
c) es sei [mm] B'=(b_{2}, b_{1}, b_{3}). [/mm] Bestimme [mm] _{B}M_{B'}(\alpha) [/mm] bezgl B und B'.
EDIT:
d) Finde für den untervektorraum [mm] U=IR^{\red{n}}, [/mm] sodass kern [mm] (\beta)=U. [/mm] |
Bräuchte wieder mal eure Hilfe...
Bei a) hab ich raus [mm] _{E3}M_{D}(f)=\pmat{ 1,5 & -1,5 & 2 \\ 0,5 & 0,5 & 1 } [/mm] und [mm] _{E3}M_{E2}(f)= \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & 1) }
[/mm]
Stimmt das noch?
Beim rest weiß ich leider nicht wirklich, was ich machen soll...
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Hallo rollroll,
> Es seinen f: [mm]IR^{3}[/mm] --> [mm]IR^{2}[/mm] , (x,y,z) --> (3z+x-y,
> 2x-2y+z) eine lineare Abbilung und D ( ( [mm]\vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1}[/mm]
> eine Basis von [mm] [m-m]IR^{2}.[/mm] [/mm] Weiter sei [mm]E_{i}[/mm] die kanonische
> Basis von [mm]IR^{i}[/mm] für i [mm]\in[/mm] {2,3}.
> a) Bestimme die Abbildungsmatrizen [mm]_{E3}M_{E2}(f)[/mm] und
> [mm]_{E3}M_{D}(f).[/mm]
> Im [mm]IR^{3}[/mm] sei nun [mm]B=(b_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\1}, b_{2} =\vektor{1 \\ -2 \\0}, b_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\0}[/mm] und ein Endomorphismus [mm]\alpha[/mm] von
> [mm]IR^{3}[/mm] gegeben durch [mm]\alpha(b_{1})[/mm] = [mm]b_{1}+b_{3}[/mm] ,
> [mm]\alpha^{2}(b_{1})[/mm] = [mm]-b_{2}-2b_{1}[/mm] und
> [mm]\alpha^{3}(b_{1})=-8b_{1}-6b_{2}+4b_{3}[/mm]
>
> b) Bestimme [mm]_{B}M_{B}(\alpha)[/mm] von [mm]\alpha[/mm] bezgl. B. ist
> [mm]\alpha[/mm] bijektiv?
> c) es sei [mm]B'=(b_{2}, b_{1}, b_{3}).[/mm] Bestimme
> [mm]_{B}M_{B'}(\alpha)[/mm] bezgl B und B'.
> d) Finde für den untervektorraum [mm]U=
> ein n [mm]\in[/mm] IN und eine lineare Abbildung [mm]\beta: IR^{3}-->IR^{2},[/mm]
> sodass kern [mm](\beta)=U.[/mm]
> Bräuchte wieder mal eure Hilfe...
> Bei a) hab ich raus [mm]_{E3}M_{D}(f)=\pmat{ 1,5 & -1,5 & 2 \\ 0,5 & 0,5 & 1 }[/mm]
> und [mm]_{E3}M_{E2}(f)= \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & 1) }[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]_{E3}M_{D}(f)=\pmat{ 1,5 & -1,5 & 2 \\ \blue{-}0,5 & 0,5 & 1 }[/mm]
> Stimmt das noch?
> Beim rest weiß ich leider nicht wirklich, was ich machen
> soll...
Gruss
MathePower
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> Es seinen f: [mm]IR^{3}[/mm] --> [mm]IR^{2}[/mm] , (x,y,z) --> (3z+x-y,
> 2x-2y+z) eine lineare Abbilung und D ( ( [mm]\vektor{1 \\
1}, \vektor{1 \\
-1}[/mm]
> eine Basis von [mm]IR^{2}.[/mm] Weiter sei [mm]E_{i}[/mm] die kanonische
> Basis von [mm]IR^{i}[/mm] für i [mm]\in[/mm] {2,3}.
> a) Bestimme die Abbildungsmatrizen [mm]_{E3}M_{E2}(f)[/mm] und
> [mm]_{E3}M_{D}(f).[/mm]
Hallo,
die Notation der Abbildungsmatrizen ist (für mich) komisch: ich kenne es so, daß rechts die Basis des Urbildraumes steht - was gewisse Vorteile bietet.
Ist's bei Euch wirklich anders, oder handelt es sich um Druckfehler?
Der Sache würde ich an Deiner Stelle mal auf den Grund gehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Di 13.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ne, es ist wirklich nach $ [mm] _{E3}M_{D}(f). [/mm] $ gefragt. Steht auch so in unserem Skript.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mi 14.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Gibt's Ideen für Teil b)-d)
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Hallo rollroll,
> Gibt's Ideen für Teil b)-d)
Bedenke daß
[mm]\alpha^{2}\left(b_{1}\right)=\alpha\left( \ \alpha\left(b_{1}\right) \ \right)[/mm]
ist.
Dementsprechend auch
[mm]\alpha^{3}\left(b_{1}\right)=\alpha\left( \ \alpha^{2}\left(b_{1}\right) \ \right)[/mm]
Gruss
MathePower
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hi, ich habe die selbe aufgabe zu lösen.
wenn ich jetzt bei der b)
[mm] \alpha [/mm] (b1) = [mm] \vektor{2\\ 1\\1}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] (b2) = [mm] \vektor{-5\\ -1\\-3}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] (b3) = [mm] \vektor{6\\ -6\\6}
[/mm]
gefunden hab, wie komm dann auf die Abbildungsmatrix [mm] _{B}M_{B}(\alpha)?
[/mm]
Und wie kann ich zeigen ob sie bijektiv ist ? Muss ich dann nicht zeigen, dass
[mm] _{B}M_{B}(\alpha) [/mm] invertierbar ist, sprich durch zeilenumformungen auf die Einheitasmarix zu bringen ist ? oder ist das falsch?
zur d )
hier kommm ich auf [mm] U=\IR^{2}
[/mm]
das heißt meine Abblidung wäre doch :
[mm] f:\IR^{3} [/mm] ---> [mm] \IR^{3}/\IR^{2}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] [x]
also [mm] :f:\IR^{3} [/mm] ---> [mm] \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] [x] , mit n=1
und ker(f) = U
falls das stimmt , dann ordne ich ja ein x [mm] \in \IR^{3} [/mm] =(x1,x2,x3)
einem [x] [mm] \in \IR [/mm] zu. Aber wie habe ich mir das dieses [x] dann vorzustellen? Oder wie komme ich von x auf [x], z.B. für ein konkretes x [mm] =\vektor{1\\ 2\\3} [/mm] ?
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
mfg
ConstantinJ
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Hallo ConstantinJ,
> hi, ich habe die selbe aufgabe zu lösen.
>
> wenn ich jetzt bei der b)
> [mm]\alpha[/mm] (b1) = [mm]\vektor{2\\ 1\\1}[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] (b2) =
> [mm]\vektor{-5\\ -1\\-3}[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] (b3) = [mm]\vektor{6\\ -6\\6}[/mm]
>
> gefunden hab, wie komm dann auf die Abbildungsmatrix
> [mm]_{B}M_{B}(\alpha)?[/mm]
Stelle [mm]\alphaleft(b_{i}\right)[/mm] als Linearkombination von [mm]b _{1}, \ b_{2}, \ b_{3}[/mm] dar.
Diese Linearkombination ergeben sich aus den Bedingungen:
[mm]\alpha(b_{1}) = b_{1}+b_{3} [/mm]
[mm]\alpha^{2}(b_{1}) = -b_{2}-2b_{1} [/mm]
[mm]\alpha^{3}(b_{1})=-8b_{1}-6b_{2}+4b_{3}[/mm]
> Und wie kann ich zeigen ob sie bijektiv ist ? Muss ich
> dann nicht zeigen, dass
> [mm]_{B}M_{B}(\alpha)[/mm] invertierbar ist, sprich durch
> zeilenumformungen auf die Einheitasmarix zu bringen ist ?
> oder ist das falsch?
>
Nein, das ist nicht falsch.
> zur d )
>
> hier kommm ich auf [mm]U=\IR^{2}[/mm]
> das heißt meine Abblidung wäre doch :
> [mm]f:\IR^{3}[/mm] ---> [mm]\IR^{3}/\IR^{2},[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] [x]
> also [mm]:f:\IR^{3}[/mm] ---> [mm]\IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] [x] , mit n=1
> und ker(f) = U
>
> falls das stimmt , dann ordne ich ja ein x [mm]\in \IR^{3}[/mm]
> =(x1,x2,x3)
> einem [x] [mm]\in \IR[/mm] zu. Aber wie habe ich mir das dieses [x]
> dann vorzustellen? Oder wie komme ich von x auf [x], z.B.
> für ein konkretes x [mm]=\vektor{1\\ 2\\3}[/mm] ?
>
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
>
> mfg
> ConstantinJ
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 14.12.2011 | | Autor: | rollroll |
@ConstantinJ
Wie kommst du denn auf [mm] \alpha(b_{1}), \alpha(b_{2}) [/mm] und [mm] \alpha(b_{3}) [/mm] und was meinst du denn damit?
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also
[mm] \alpha(b1)= [/mm] b1 + b3
da endomorph gilt dann
[mm] \alpha^{2}(b1) [/mm] = [mm] \alpha( \alpha(b1))= \alpha(b1 [/mm] + b3) =
[mm] \alpha(b1) [/mm] + [mm] \alpha(b3)
[/mm]
=> [mm] \alpha(b3) [/mm] = [mm] \alpha^{2}(b1) [/mm] - [mm] \alpha(b1)
[/mm]
und entsprechend:
[mm] \alpha(b2) [/mm] = [mm] -\alpha^{3}(b1) [/mm] - [mm] 2\alpha(b1)
[/mm]
gruß ConstantinJ
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Do 15.12.2011 | | Autor: | rollroll |
ah, ok, danke. hast du bei a) dasselbe raus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 18.12.2011 | | Autor: | rollroll |
> Stelle [mm]\alphaleft(b_{i}\right)[/mm] als Linearkombination von [mm]b _{1}, \ b_{2}, \ b_{3}[/mm]
> dar.
>
> Diese Linearkombination ergeben sich aus den Bedingungen:
>
> [mm]\alpha(b_{1}) = b_{1}+b_{3}[/mm]
> [mm]\alpha^{2}(b_{1}) = -b_{2}-2b_{1} [/mm]
>
> [mm]\alpha^{3}(b_{1})=-8b_{1}-6b_{2}+4b_{3}[/mm]
>
Also wie man auf [mm] \alpha_{b_{1}} [/mm] usw. kommt, ist mir klar, aber ich verstehe immernoch nciht ganz, wie man jetzt auf die Abbildungsmatrix kommen soll... Bzw. wie man [mm] b_{i} [/mm] als Linearkombination darstellen soll..
Könnte mir jemand Tipps geben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 18.12.2011 | | Autor: | rollroll |
so:
[mm] \alpha (b_{1})=\vektor{2 \\ 1 \\1}=1 \vektor{1 \\ 1 \\1}+0 \vektor{1 \\ -2 \\0}+1 \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
usw.???
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Hallo rollroll,
> so:
> [mm]\alpha (b_{1})=\vektor{2 \\ 1 \\1}=1 \vektor{1 \\ 1 \\1}+0 \vektor{1 \\ -2 \\0}+1 \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> usw.???
>
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo rollroll,
> > Stelle [mm]\alphaleft(b_{i}\right)[/mm] als Linearkombination von [mm]b _{1}, \ b_{2}, \ b_{3}[/mm]
> > dar.
> >
> > Diese Linearkombination ergeben sich aus den Bedingungen:
> >
> > [mm]\alpha(b_{1}) = b_{1}+b_{3}[/mm]
> > [mm]\alpha^{2}(b_{1}) = -b_{2}-2b_{1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\alpha^{3}(b_{1})=-8b_{1}-6b_{2}+4b_{3}[/mm]
> >
>
> Also wie man auf [mm]\alpha_{b_{1}}[/mm] usw. kommt, ist mir klar,
> aber ich verstehe immernoch nciht ganz, wie man jetzt auf
> die Abbildungsmatrix kommen soll... Bzw. wie man [mm]b_{i}[/mm] als
> Linearkombination darstellen soll..
> Könnte mir jemand Tipps geben?
>
Du stellst doch die Bilder der Basisvektoren [mm]\alpha\left(b_{k}\right), \ k=1,2,3[/mm] als Linearkombination der Basisvektoren [mm]b_{i}, \ i=1,2,3[/mm] dar.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | d) Finde für den untervektorraum [mm] U=<\vektor{1\\
-2\\
0}, \vektor{1 \\
-1 \\
2}, \vektor{1 \\
-5 \\
6 } > \subset IR^{3} [/mm] ein n [mm] \in [/mm] IN und eine lineare Abbildung [mm] \beta: IR^{3}-->IR^{2}, [/mm] sodass kern [mm] (\beta)=U. [/mm] |
Hallo,
erstmal eine Frage zur Aufgabenstellung: was für ein n soll man da suchen und finden? Irgendetwas läuft doch da schief, oder? Ist die Aufgabenstellung kastriert, oder übersehe ich etwas?
> zur d )
>
> hier kommm ich auf [mm]U=\IR^{2}[/mm]
Das ist doch [mm] Kokolores^3: [/mm] Dein Raum U besteht aus Spalten mit 3 Einträgen, da wird er ja wohl kaum gleich dem [mm] \IR^2 [/mm] sein, denn dessen Elemente sind doch ganz andere!
Hellsichtig wie ich bin, sag' ich mal: Du hast ausgerechnet, daß dimU=2.
Hab' ich richtig hellgesehen?
Falls ja: sofern die erzeugenden Vektoren von U wirklich so sind, wie sie dastehen, stimmt das nicht. Dann ist dimU=3, also [mm] U=\IR^3.
[/mm]
Aber vielleicht ist im Original ja an einer Stelle ein anderes Vorzeichen?
> das heißt meine Abblidung wäre doch :
> [mm]f:\IR^{3}[/mm] ---> [mm]\IR^{3}/\IR^{2},[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] [x]
Hm? Was geht hier vor sich?
Ist vielleicht die eingangs gepostete Aufgabenstellung ziemlich verunglückt?
Anders kann ich's mir nicht erklären.
Wenn ich das tue, was in der Aufgabenstellung steht, dann würde ich jetzt den Basisvektoren von U den Funktionswert [mm] \vektor{0\\0} [/mm] zuweisen, ggf. zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen, den ergänzenden Vektoren irgendeinen anderen Wert zuweisen und die dadurch definierte lineare Abbildung schön aufschreiben.
Aber, wie gesagt: ich hab' das Gefühl daß man die Aufgabenstellung nochmal genauer ansehen müßte, denn Dein Tun kommt ja sicher nicht von ungefähr.
Gruß v. Angela
> also [mm]:f:\IR^{3}[/mm] ---> [mm]\IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] [x] , mit n=1
> und ker(f) = U
>
> falls das stimmt , dann ordne ich ja ein x [mm]\in \IR^{3}[/mm]
> =(x1,x2,x3)
> einem [x] [mm]\in \IR[/mm] zu. Aber wie habe ich mir das dieses [x]
> dann vorzustellen? Oder wie komme ich von x auf [x], z.B.
> für ein konkretes x [mm]=\vektor{1\\
2\\
3}[/mm] ?
>
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
>
> mfg
> ConstantinJ
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Do 15.12.2011 | | Autor: | rollroll |
huch, da ist tatsächlich ein - verloren gegangen:
finde für $ [mm] U=<\vektor{1\\ -2\\ 0}, \vektor{1 \\ -1 \\ -2}, \vektor{1 \\ -5 \\ 6 } [/mm] > [mm] \subset IR^{3} [/mm] $ ein n [mm] \in [/mm] IN und eine lineare abbildung
$ [mm] \beta: IR^{3}-->IR^{n}, [/mm] $, sodass Ker [mm] (\beta)=U.
[/mm]
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> huch, da ist tatsächlich ein - verloren gegangen:
> finde für [mm]U=<\vektor{1\\
-2\\
0}, \vektor{1 \\
-1 \\
-2}, \vektor{1 \\
-5 \\
6 } > \subset IR^{3}[/mm]
> ein n [mm]\in[/mm] IN und eine lineare abbildung
> [mm]\beta: IR^{3}-->IR^{n}, [/mm], sodass Ker [mm](\beta)=U.[/mm]
Hallo,
aha! Da hat sich ja außerdem auch das n angefunden.
Wie man es für n=2 machen kann, habe ich ja bereits erklärt.
Gruß v. Angela
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Also ich habe das mal wieder nachgerechnet ich komme dann auf :
[mm] U=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0} ,\vektor{0\\ 1\\ 0}>
[/mm]
damit ist dim U = 2
(hier hab ich ja gedacht, dass U = [mm] \IR² [/mm] wäre.)
nun ich weiß das gilt:
dim [mm] (\IR^{3}/U) [/mm] = dim [mm] \IR^{3} [/mm] - dim U = 1
und das ich eine die gewünschte funktion mit
[mm] \beta [/mm] : [mm] \IR^{3}--->\IR^{3}/U [/mm] , [mm] x\mapsto [/mm] [x]
erhalte, denn dann gilt [mm] Ker(\beta) [/mm] = U
nun muss ich ja irgendwie [mm] \IR^{n} [/mm] = [mm] \IR^{3}/U
[/mm]
oder ?
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> Also ich habe das mal wieder nachgerechnet ich komme dann
> auf :
>
> [mm]U=<\vektor{1 \\
0 \\
0} ,\vektor{0\\
1\\
0}>[/mm]
> damit ist dim
> U = 2
>
> (hier hab ich ja gedacht, dass U = [mm]\IR²[/mm] wäre.)
>
> nun ich weiß das gilt:
> dim [mm](\IR^{3}/U)[/mm] = dim [mm]\IR^{3}[/mm] - dim U = 1
Hallo,
das stimmt ja, nur kapiere ich überhaupt nicht, was Du mit dem Faktorraum hier willst.
Du sollst doch gar nichts anderes tun, als eine Abbildung zu sagen, welche aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] oder meinetwegen [mm] \IR^{15} [/mm] oder [mm] \IR^{1} [/mm] abbildet, und deren kern =U ist.
Wie das geht, hatte ich doch auch schon verraten.
Gruß v. Angela
>
> und das ich eine die gewünschte funktion mit
> [mm]\beta[/mm] : [mm]\IR^{3}--->\IR^{3}/U[/mm] , [mm]x\mapsto[/mm] [x]
> erhalte, denn dann gilt [mm]Ker(\beta)[/mm] = U
>
> nun muss ich ja irgendwie [mm]\IR^{n}[/mm] = [mm]\IR^{3}/U[/mm]
>
> oder ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 So 18.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Könnte mir bitte schnell jemand meine Fragen beantworten, weil ich die Aufgabe bis morgen gelöst haben muss...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 So 18.12.2011 | | Autor: | s9mamajl |
Du hast
phi(b1) = ...
phi(b2) = ...
phi(b3) = ...
Das gibt dir Summen aus b1, b2, b3 zusammen mit den Faktoren.
Wenn phi(b1) die erste Spalte einer Matrix ist, dann schreibe dir die Faktoren in die Spalte. phi(b2) gibt dann die zweite Spalte und phi(b3) die dritte Spalte deiner neuen Matrix an.
[mm] \pmat{ 1 & 7 & -3 \\ 0 & 6 &-1 \\ 1 & -5 & -1 }
[/mm]
Ist phi bijektiv?
Nun, dazu müsste man diese Matrix invertieren können.
Kann man diese Matrix invertieren?
Dazu müsste man sie auf redZSF bringen können.
Ein bisschen umformen und du müsstest rausbekommen, dass das nicht geht. Und wenn das nicht geht, sagt uns das, dass...
So, ich hoffe das war schnell genug.
Bis morgen um 12 hast du aber noch Zeit zum überlegen...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 18.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Nochmal zur d):
Man hat also dim(U)=2
Und [mm] dim(IR^{3}/U)=1
[/mm]
Heißt das dann , dass n=1?
Und wie finde ich die lineare Abbldung, sodass
[mm] Ker(\beta)=U?
[/mm]
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> Nochmal zur d):
> Man hat also dim(U)=2
> Und [mm]dim(IR^{3}/U)=1[/mm]
Hallo,
das stimmt zwar, aber kann mir endlich mal jemand verraten, warum hier mit Faktorräumen rumgemacht wird?
Davon steht doch gar nichts in der Aufgabe, oder ist die Aufgabenstellung eine andere als die des Ausgangsposts?
Wenn es die des Ausgangsposts ist, so habe ich dch schon erklärt, was zu tun ist. Ich wiederhole das jetzt nicht, bin aber gern bereit, Fragen zu beantworten, die sich konkret darauf beziehen.
Gruß v. Angela
> Heißt das dann , dass n=1?
> Und wie finde ich die lineare Abbldung, sodass
> [mm]Ker(\beta)=U?[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 So 18.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ne, die Aufgabenstellung stimmt.
> d) Finde für den untervektorraum [mm]U=<\vektor{1\\
-2\\
0}, \vektor{1 \\
-1 \\
-2}, \vektor{1 \\
-5 \\
6 } > \subset IR^{3}[/mm]
> ein n [mm]\in[/mm] IN und eine lineare Abbildung [mm]\beta: IR^{3}-->IR^{n},[/mm]
> sodass kern [mm](\beta)=U.[/mm]
ich denke, du beziehst dich auf diesem Post, oder?
> Das ist doch [mm]Kokolores^3:[/mm] Dein Raum U besteht aus Spalten
> mit 3 Einträgen, da wird er ja wohl kaum gleich dem [mm]\IR^2[/mm]
> sein, denn dessen Elemente sind doch ganz andere!
> Hellsichtig wie ich bin, sag' ich mal: Du hast
> ausgerechnet, daß dimU=2.
> Hab' ich richtig hellgesehen?
> Falls ja: sofern die erzeugenden Vektoren von U wirklich
> so sind, wie sie dastehen, stimmt das nicht. Dann ist
> dimU=3, also [mm]U=\IR^3.[/mm]
> Aber vielleicht ist im Original ja an einer Stelle ein
> anderes Vorzeichen?
>
> > das heißt meine Abblidung wäre doch :
> > [mm]f:\IR^{3}[/mm] ---> [mm]\IR^{3}/\IR^{2},[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] [x]
>
> Hm? Was geht hier vor sich?
> Ist vielleicht die eingangs gepostete Aufgabenstellung
> ziemlich verunglückt?
> Anders kann ich's mir nicht erklären.
>
> Wenn ich das tue, was in der Aufgabenstellung steht, dann
> würde ich jetzt den Basisvektoren von U den Funktionswert
> [mm]\vektor{0\\0}[/mm] zuweisen, ggf. zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm]
> ergänzen, den ergänzenden Vektoren irgendeinen anderen
> Wert zuweisen und die dadurch definierte lineare Abbildung
> schön aufschreiben.
> Aber, wie gesagt: ich hab' das Gefühl daß man die
> Aufgabenstellung nochmal genauer ansehen müßte, denn Dein
> Tun kommt ja sicher nicht von ungefähr.
>
> Gruß v. Angela
Hieraus werde ich aber ehrlich gesagt nicht ganz schlau (da ja am Anfang die Aufgabenstellung falsch gepostet wurde)....
Was ist denn dann in Bezug auf die korrekte Aufgabenstellung von deinem Post noch aktuell?
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> Ne, die Aufgabenstellung stimmt.
> > d) Finde für den untervektorraum [mm]U=<\vektor{1\\
-2\\
0}, \vektor{1 \\
-1 \\
-2}, \vektor{1 \\
-5 \\
6 } > \subset IR^{3}[/mm]
> > ein n [mm]\in[/mm] IN und eine lineare Abbildung [mm]\beta: IR^{3}-->IR^{n},[/mm]
> > sodass kern [mm](\beta)=U.[/mm]
>
> ich denke, du beziehst dich auf diesem Post, oder?
>
> > Das ist doch [mm]Kokolores^3:[/mm] Dein Raum U besteht aus Spalten
> > mit 3 Einträgen, da wird er ja wohl kaum gleich dem [mm]\IR^2[/mm]
> > sein, denn dessen Elemente sind doch ganz andere!
> > Hellsichtig wie ich bin, sag' ich mal: Du hast
> > ausgerechnet, daß dimU=2.
> > Hab' ich richtig hellgesehen?
> > Falls ja: sofern die erzeugenden Vektoren von U
> wirklich
> > so sind, wie sie dastehen, stimmt das nicht. Dann ist
> > dimU=3, also [mm]U=\IR^3.[/mm]
> > Aber vielleicht ist im Original ja an einer Stelle ein
> > anderes Vorzeichen?
> >
> > > das heißt meine Abblidung wäre doch :
> > > [mm]f:\IR^{3}[/mm] ---> [mm]\IR^{3}/\IR^{2},[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] [x]
> >
> > Hm? Was geht hier vor sich?
> > Ist vielleicht die eingangs gepostete Aufgabenstellung
> > ziemlich verunglückt?
> > Anders kann ich's mir nicht erklären.
> >
> > Wenn ich das tue, was in der Aufgabenstellung steht, dann
> > würde ich jetzt den Basisvektoren von U den Funktionswert
> > [mm]\vektor{0\\
0}[/mm] zuweisen, ggf. zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm]
> > ergänzen, den ergänzenden Vektoren irgendeinen anderen
> > Wert zuweisen und die dadurch definierte lineare Abbildung
> > schön aufschreiben.
> > Aber, wie gesagt: ich hab' das Gefühl daß man die
> > Aufgabenstellung nochmal genauer ansehen müßte, denn Dein
> > Tun kommt ja sicher nicht von ungefähr.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Hieraus werde ich aber ehrlich gesagt nicht ganz schlau (da
> ja am Anfang die Aufgabenstellung falsch gepostet
> wurde)....
> Was ist denn dann in Bezug auf die korrekte
> Aufgabenstellung von deinem Post noch aktuell?
Wenn Du n=2 wählst, dann alles,
für n=1 muß man die Basisvektoren von U eben auf 0 abbilden,
Für n=3 auf [mm] \vektor{0\\0\\0}, [/mm] für n=4 auf [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] usw.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Mo 19.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Also so:
[mm] \beta: IR^{3}-->IR^{2} [/mm] ; [mm] <\vektor{1 \\ -2 \\0},\vektor{1 \\ -1 \\-2}>-->\vektor{0 \\ 0} [/mm] ? dann werden ja die Basisvektoren auf den Nullvektor abgebildet
?
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> Also so:
> [mm]\beta: IR^{3}-->IR^{2}[/mm] ; [mm]<\vektor{1 \\
-2 \\
0},\vektor{1 \\
-1 \\
-2}>-->\vektor{0 \\
0}[/mm]
> ? dann werden ja die Basisvektoren auf den Nullvektor
> abgebildet
Hallo,
vielleicht meinst Du es richtig, aber das, was Du oben schreibst, ist Quatsch.
[mm] \beta [/mm] soll doch aus dem [mm] \IR^3 [/mm] heraus abbilden, also jedem Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] einen Funktionswert zuweisen, Du weist jetzt einem einzigen Unterraum einen Funktionswert zu.
Du hast doch sicher diesen Satz gehabt daß jede lineare Abbildung durch die Angabe der Werte auf eine Basis eindeutig bestimmt ist.
Jetzt beschließe einfach [mm] \beta(\vektor{1 \\ -2 \\ 0}):=\vektor{0\\0}, \beta(\vektor{1 \\ -1 \\ -2}):=\vektor{0\\0}. [/mm] Damit kann es nicht anders sein, als daß [mm] U\subseteq Kern\beta [/mm] ist.
Als nächstes tue das, was ich noch zum Thema schrieb.
Und dann mußt Du Dir überlegen, wie die Funktionsvorschrift für [mm] \beta [/mm] lautet, also [mm] \beta(\vektor{x\\y\\z})=???
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Ein Eintrag im Profil Dein Studienfach betreffend wäre nicht schlecht. Manchmal ist da sbeim Antworten hilfreich.
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