Abbildungsvorschrift angeben < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Sa 10.11.2012 | | Autor: | jackyooo |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ -4 & -2 & 6 \\ 3 & 2 &-3 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{-2&-2\\0&-2\\-2&-2}
[/mm]
b) Geben Sie die Abbildungsvorschrift von A [mm] \circ [/mm] B an.
c) Stellen Sie Bild und Kern von A [mm] \circ [/mm] B möglichst einfach dar |
Guten Morgen,
ich bin gerade bei der Bearbeitung der oben genannten Aufgaben.
"Geben Sie die Abbildungsvorschrift an"
Was genau wird hier von mir Verlangt? Was genau ist die Abbildungsvorschrift?
Soll ich die beiden Matrizen einfach miteinander Multiplizieren? Oder ist die Abbildungsvorschrift das:
[mm]L: R^{3} \mapsto R^{2}[/mm]?
Oder ist das Ausmultiplizieren erst in c) gefragt, wenn ich das Bild darstellen soll? Und was hat hier der Kern zu suchen? Der Kern ist doch die Menge der Vektoren, die auf den 0-Vektor abbilden. Ich hab doch hier überhaupt keine Variablen, mit denen ich irgendetwas einsetzen könnte.
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Hallo,
> [mm]A=\pmat{ -4 & -2 & 6 \\
3 & 2 &-3 }[/mm]
>
> [mm]B=\pmat{-2&-2\\
0&-2\\
-2&-2}[/mm]
>
> b) Geben Sie die Abbildungsvorschrift von A [mm]\circ[/mm] B an.
> c) Stellen Sie Bild und Kern von A [mm]\circ[/mm] B möglichst
> einfach dar
> Guten Morgen,
>
> ich bin gerade bei der Bearbeitung der oben genannten
> Aufgaben.
> "Geben Sie die Abbildungsvorschrift an"
> Was genau wird hier von mir Verlangt? Was genau ist die
> Abbildungsvorschrift?
>
> Soll ich die beiden Matrizen einfach miteinander
> Multiplizieren? Oder ist die Abbildungsvorschrift das:
> [mm]L: R^{3} \mapsto R^{2}[/mm]?
Nun, zumindest die Darstellung per Matrizenprodukt sollte dastehen. Ob du hier ausmultiplizierst oder in c) ist eine technische Frage in meinen Augen.
> Oder ist das Ausmultiplizieren
> erst in c) gefragt, wenn ich das Bild darstellen soll? Und
> was hat hier der Kern zu suchen? Der Kern ist doch die
> Menge der Vektoren, die auf den 0-Vektor abbilden. Ich hab
> doch hier überhaupt keine Variablen, mit denen ich
> irgendetwas einsetzen könnte.
Nimm einen 1x3-Vektor [mm] \vec{x} [/mm] und untersuche die Gleichung
[mm] A*B*\vec{x}^T=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mi 14.11.2012 | | Autor: | jackyooo |
Danke für deine Antwort.
Also sage ich:
Der Kern ist ja die Menge aller Vektoren, die auf den 0-Vektor abbilden.
Also:
[mm]\pmat{ -4 & 0 \\ 0 & -4 } * \vektor{x \\ y} = \vektor{-4x\\-4y}=\vektor{0\\0}
-> Kern (P*Q)=\vektor{0\\0}
Bzw. Bild (P*Q) = span {\vektor{-4\\-4}[/mm]
Bzw. anschaulich die Urspungsgerade. Ist das soweit richtig?
Noch eine Frage zur Abbildungsvorschrift:
Wäre
[mm]R^{2X3} * R^{3X2} = R^{2X2}[/mm]
ein sinnvoller und in dem Kontext richtiger Zusammenhang?
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> Danke für deine Antwort.
> Also sage ich:
>
> Der Kern ist ja die Menge aller Vektoren, die auf den
> 0-Vektor abbilden.
Hallo,
die auf den Nullvektor abgebildet werden.
>
> Also:
>
> [mm]\pmat{ -4 & 0 \\
0 & -4 } * \vektor{x \\
y} = \vektor{-4x\\
-4y}=\vektor{0\\
0} -> Kern (P*Q)=\vektor{0\\
0}
Was sind P und Q?
Hatten wir nicht A und B?
Kern(AB)=\{\vektor{0\\
0}\}.
> Bzw. Bild (P*Q) = span {\vektor{-4\\
-4}[/mm]
Das stimmt nicht.
Es ist z.B der Vektor [mm] \vektor{4\\-8} [/mm] auch im Bild von AB.
Wie das Bild definiert ist, weißt Du?
LG Angela
>
> Bzw. anschaulich die Urspungsgerade. Ist das soweit
> richtig?
>
> Noch eine Frage zur Abbildungsvorschrift:
>
> Wäre
>
> [mm]R^{2X3} * R^{3X2} = R^{2X2}[/mm]
> ein sinnvoller und in dem
> Kontext richtiger Zusammenhang?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Do 15.11.2012 | | Autor: | jackyooo |
>>Was sind P und Q?
>>Hatten wir nicht A und B?
Ich nenne Matrizen normalerweise P und Q, aber ja, laut Aufgabe A und B.
Der Kern stimmt ansonsten soweit?
> Das stimmt nicht.
> Es ist z.B der Vektor [mm]\vektor{4\\-8}[/mm] auch im Bild von AB.
>
> Wie das Bild definiert ist, weißt Du?
Das Bild einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, die Bild eines Vektors aus dem Bildraum sind.
In dem Fall also:
span( [mm]\vektor{-4\\0},\vektor{0\\-4}[/mm] ), also der [mm]R^{2}[/mm]?
> > [mm]R^{2X3} * R^{3X2} = R^{2X2}[/mm]
> > ein sinnvoller und in dem
> > Kontext richtiger Zusammenhang?
Ist das denn richtig?
edit:
Heißt es, das Bild einer ist immer seine einzelnen Spalten als Vektor aufgefasst?
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> Der Kern stimmt ansonsten soweit?
Hallo,
ja, der war richtig.
>
> > Das stimmt nicht.
> > Es ist z.B der Vektor [mm]\vektor{4\\
-8}[/mm] auch im Bild von
> AB.
> >
> > Wie das Bild definiert ist, weißt Du?
>
> Das Bild einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, die
> Bild eines Vektors aus dem Bildraum sind.
Hallo,
eher Bild eines Vektors aus dem Urbildraum.
> In dem Fall also:
[mm] Bild(AB)=\{ABx| x\in \IR^2\}.
[/mm]
>
> span( [mm]\vektor{-4\\
0},\vektor{0\\
-4}[/mm] ), also der [mm]R^{2}[/mm]?
Genau.
Das Bild wird ja (z.B.) aufgespannt von den Bildern der Einheitsvektoren - und genau diese sind es, die in den Spalten der Matrix stehen. Immer.
> > > [mm]R^{2X3} * R^{3X2} = R^{2X2}[/mm]
> > > ein sinnvoller und
> in dem
> > > Kontext richtiger Zusammenhang?
???
Wenn Du damit meinst, daß das Produkt einer [mm] 2\times [/mm] 3-Matrix mit einer [mm] 3\times [/mm] 2-Matrix eine [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix ergibt, hast Du recht.
>
> Ist das denn richtig?
>
> edit:
> Heißt es, das Bild einer ist immer seine einzelnen
> Spalten als Vektor aufgefasst?
Genau. Das Bild ist der von den Spalten aufgespannte raum.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 15.11.2012 | | Autor: | jackyooo |
Super, langsam habe ich das Gefühl, dass LinA und ich noch Freunde werden könnten ;)
> > > > [mm]R^{2X3} * R^{3X2} = R^{2X2}[/mm]
> > > > ein sinnvoller
> und
> > in dem
> > > > Kontext richtiger Zusammenhang?
>
> ???
> Wenn Du damit meinst, daß das Produkt einer [mm]2\times[/mm]
> 3-Matrix mit einer [mm]3\times[/mm] 2-Matrix eine [mm]2\times[/mm] 2 Matrix
> ergibt, hast Du recht.
Ich bin unsicher (gerade wegen der ersten Antwort von D... .
Ich weiß nicht, was mit "Geben Sie die Abbildungsvorschrift P ° Q an." von mir verlangt ist.
Beinhaltet das einfach nur das Ausmultiplizieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Do 15.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Super, langsam habe ich das Gefühl, dass LinA und ich noch
> Freunde werden könnten ;)
Schön. Ich hab damals auch ein wenig gebraucht, um mit Linearer Algebra klarzukommen.
>
> > > > > [mm]R^{2X3} * R^{3X2} = R^{2X2}[/mm]
> > > > > ein
> sinnvoller
> > und
> > > in dem
> > > > > Kontext richtiger Zusammenhang?
> >
> > ???
> > Wenn Du damit meinst, daß das Produkt einer [mm]2\times[/mm]
> > 3-Matrix mit einer [mm]3\times[/mm] 2-Matrix eine [mm]2\times[/mm] 2 Matrix
> > ergibt, hast Du recht.
>
> Ich bin unsicher (gerade wegen der ersten Antwort von D...
> .
> Ich weiß nicht, was mit "Geben Sie die
> Abbildungsvorschrift P ° Q an." von mir verlangt ist.
> Beinhaltet das einfach nur das Ausmultiplizieren?
Ja, aber bitte in der korrekten Reihenfolge 
Die Abbildungsmatrix einer Verkettung ist in der Tat das Produkt der beiden Abbildungsmatrizen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 15.11.2012 | | Autor: | jackyooo |
> Hallo
>
>
> > Super, langsam habe ich das Gefühl, dass LinA und ich noch
> > Freunde werden könnten ;)
>
> Schön. Ich hab damals auch ein wenig gebraucht, um mit
> Linearer Algebra klarzukommen.
>
> >
> > > > > > [mm]R^{2X3} * R^{3X2} = R^{2X2}[/mm]
> > > > > > ein
> > sinnvoller
> > > und
> > > > in dem
> > > > > > Kontext richtiger Zusammenhang?
> > >
> > > ???
> > > Wenn Du damit meinst, daß das Produkt einer [mm]2\times[/mm]
> > > 3-Matrix mit einer [mm]3\times[/mm] 2-Matrix eine [mm]2\times[/mm] 2 Matrix
> > > ergibt, hast Du recht.
> >
> > Ich bin unsicher (gerade wegen der ersten Antwort von D...
> > .
> > Ich weiß nicht, was mit "Geben Sie die
> > Abbildungsvorschrift P ° Q an." von mir verlangt ist.
> > Beinhaltet das einfach nur das Ausmultiplizieren?
>
> Ja, aber bitte in der korrekten Reihenfolge
> Die Abbildungsmatrix einer Verkettung ist in der Tat das
> Produkt der beiden Abbildungsmatrizen.
>
> Marius
>
Okay, aber da mit R^ * R^ -> R^ kann ich mir sparen? Sprich die Abbildungsvorschrift heißt einfach nur dass ich die Multiplikation in diesem Fall hinschreibe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Do 15.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo
> >
> >
> > > Super, langsam habe ich das Gefühl, dass LinA und ich noch
> > > Freunde werden könnten ;)
> >
> > Schön. Ich hab damals auch ein wenig gebraucht, um mit
> > Linearer Algebra klarzukommen.
> >
> > >
> > > > > > > [mm]R^{2X3} * R^{3X2} = R^{2X2}[/mm]
> > > > > > >
> ein
> > > sinnvoller
> > > > und
> > > > > in dem
> > > > > > > Kontext richtiger Zusammenhang?
> > > >
> > > > ???
> > > > Wenn Du damit meinst, daß das Produkt einer
> [mm]2\times[/mm]
> > > > 3-Matrix mit einer [mm]3\times[/mm] 2-Matrix eine [mm]2\times[/mm] 2 Matrix
> > > > ergibt, hast Du recht.
> > >
> > > Ich bin unsicher (gerade wegen der ersten Antwort von D...
> > > .
> > > Ich weiß nicht, was mit "Geben Sie die
> > > Abbildungsvorschrift P ° Q an." von mir verlangt ist.
> > > Beinhaltet das einfach nur das Ausmultiplizieren?
> >
> > Ja, aber bitte in der korrekten Reihenfolge
> > Die Abbildungsmatrix einer Verkettung ist in der Tat das
> > Produkt der beiden Abbildungsmatrizen.
> >
> > Marius
> >
>
> Okay, aber da mit R^ * R^ -> R^ kann ich mir sparen? Sprich
> die Abbildungsvorschrift heißt einfach nur dass ich die
> Multiplikation in diesem Fall hinschreibe?
Ja, in der Richtigen Reihenfolge und dann die Matrixmultiplikation auch ausführen.
Dass du am Ende aus dem [mm] \IR^{\Box} [/mm] in den [mm] \IR^{\Box} [/mm] abbildest, solltest du aber auch erwähnen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 15.11.2012 | | Autor: | jackyooo |
> Dass du am Ende aus dem [mm]\IR^{\Box}[/mm] in den [mm]\IR^{\Box}[/mm]
> abbildest, solltest du aber auch erwähnen.
Genau das ist meine Frage (seit Anfang an)
Deshalb hab ich ja oben das mit
L: [mm] R^{2x3} [/mm] * [mm] R^{3x2} \mapsto R^{2x2}
[/mm]
geschrieben.
Ich bilde ja hier von zwei verschiedenen Dimensionen auf eine noch andere Dimension ab. Ist das so formuliert richtig?
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> > Dass du am Ende aus dem [mm]\IR^{\Box}[/mm] in den [mm]\IR^{\Box}[/mm]
> > abbildest, solltest du aber auch erwähnen.
>
> Genau das ist meine Frage (seit Anfang an)
> Deshalb hab ich ja oben das mit
>
> L: [mm]R^{2x3}[/mm] * [mm]R^{3x2} \mapsto R^{2x2}[/mm]
>
> geschrieben.
> Ich bilde ja hier von zwei verschiedenen Dimensionen auf
> eine noch andere Dimension ab. Ist das so formuliert
> richtig?
Hallo,
nein, es ist sogar grottenfalsch.
Es wird hier nichts auf [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen abgebildet.
Mich dünkt, Du hast etwas Wesentliches nicht verstanden.
Man kann lineare Abbildungen durch Matrizen beschreiben.
Die durch
[mm] f_A(x):=Ax [/mm] für alle [mm] x\in \IR^3 [/mm]
definierte Abbildung ist eine Abbildung aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2,
[/mm]
die durch
[mm] f_B(x):=Bx [/mm] für alle [mm] x\in \IR^2 [/mm] definierte Abbildung ist eine Abbildung aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^3,
[/mm]
und die durch
[mm] f_{AB}(x):=ABx [/mm] für alle [mm] x\in \IR^2 [/mm] definierte Abbildung ist eine Abbildung aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^2.
[/mm]
Es ist übrigens [mm] f_{AB}=f_A\circ f_B.
[/mm]
LG Angela
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