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| Aufgabe | Sei L : R·2[x] ! R·2[x] eine lineare Abbildung. L habe die Eigenwerte [mm] \lambda1 [/mm] =
1, [mm] ¸\lambda2 [/mm] = 2 und [mm] \lambda3 [/mm] = 3 mit zugehörigen Eigenvektoren
p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 − x, p3(x) = x2 + 2.
Bestimmen Sie L. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da ich nun L haben will aber in der Eigenwertvorschrift nur die darstellende matrix(LB) nutzen kann sowit ich weiss wollte ich zunächst einmal eben diese herausfinden. für [mm] \lambda1 [/mm] ergibt sich dann für mich folgendes: [mm] det(LB-\lambda_{1} I)\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=0.
[/mm]
Nun weiss ich nicht ob das erstens so überhaupt richtig ist geschweige denn ob das der richtige weg ist, da wir bisher nur aus der anderen richtung also beginnend mit einer abbildungsvorschrift gerechnet haben.
Wie also kann man hier weiter verfahren? ich hab einfach keine idee.
mfg jim
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> Sei L : R·2[x] ! R·2[x] eine lineare Abbildung. L habe
> die Eigenwerte [mm]\lambda1[/mm] =
> 1, [mm]¸\lambda2[/mm] = 2 und [mm]\lambda3[/mm] = 3 mit zugehörigen
> Eigenvektoren
> p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 − x, p3(x) = x2 + 2.
> Bestimmen Sie L.
> Da ich nun L haben will aber in der Eigenwertvorschrift nur
> die darstellende matrix(LB) nutzen kann sowit ich weiss
> wollte ich zunächst einmal eben diese herausfinden.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das, was Du planst, ist eine gute Idee.
Du möchtest zunächst die darstellende Matrix der Abbildung L bzgl. der Basis aus Eigenvektoren B:=( 1+x, 1-x, [mm] x^2+2) [/mm] aufstellen.
Was ist denn
L(1+x)=..
L(1-x)=..
[mm] L(x^2+2)=... [/mm] ?
Wenn Du das weißt, kannst Du die Darstellungsmatrix bzgl. B hinschreiben.
(passender Spruch dazu : "In den Spalten der Darstellungsmatrix von L bzgl. B stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B.")
Daraus kannst Du Dir dann die Matrix für die Standardbasis [mm] E:=(x^2, [/mm] x, 1) basteln. (Basistransformation)
Du kannst aber auch diesen Weg wählen:
schreibe die Basisvektoren von E als Linearkombination der Basisvektoren von B und nutze dann die Linearität von L sowie die Tatsache, daß die Basisvektoren von B Eigenvektoren von L sind.
Ein Weg ohne Matrizen:
Du möchtest wissen, auf was das Polynom [mm] ax^2+bx+c [/mm] durch L abgebildet wird.
Schreibe [mm] ax^2+bx+c [/mm] als Linearkombination der drei Eigenvektoren, nutze die Linearität und die Eigenvektoreigenschaft.
Gruß v. Angela
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Erstmal danke fürs hallo und noch ein großes danke für die antwort. ich hab mich jetzt erstmal für weg 2 entschieden und werd mich da gleich dransetzen aber zu nr.1:
$L(1+x)=..$
$L(1-x)=.. $
$ [mm] L(x^2+2)=... [/mm] $
Ist hier nicht genau der punkt das ich das Bild nicht kenne? also das ich dementsprechend auch die darstellende matrix nicht herausfinden kann oder überseh ich grad nur was?
g jim
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> Erstmal danke fürs hallo und noch ein großes danke für
> die antwort. ich hab mich jetzt erstmal für weg 2
> entschieden und werd mich da gleich dransetzen aber zu
> nr.1:
> [mm]L(1+x)=..[/mm]
> [mm]L(1-x)=..[/mm]
> [mm]L(x^2+2)=...[/mm]
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> Ist hier nicht genau der punkt das ich das Bild nicht
> kenne? also das ich dementsprechend auch die darstellende
> matrix nicht herausfinden kann oder überseh ich grad nur
> was?
Hallo,
Du übersiehst etwas: die drei Vektoren sind doch gerade die Eigenvektoren zu den angegebenen Eigenwerten!
Also??? (Was bedeutet denn "Eigenvektor"?)
Gruß v. Angela
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