Abbruchfehler < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 So 04.01.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe 1 | Finden und beweisen Sie eine Abschätzung für die Abbruchfehler:
[mm] f_n^{cos}(z) [/mm] = |cos(z) - [mm] \sum_{j=1}^n(-1)^j\frac{z^{2j}}{(2j)!}| [/mm] und
[mm] f_n^{sin}(z) [/mm] = |sin(z) - [mm] \sum_{j=0}^n(-1)^j\frac{z^{2j+1}}{(2j+1)!}| [/mm] |
| Aufgabe 2 | Formulieren und beweisen Sie Abschätzungen für den Abbruchfehler der angegebenen Reihen:
cosh(z) = [mm] \frac{1}{2}(e^z [/mm] + [mm] e^{-z}) [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^{\infty}\frac{z^{2j}}{(2j)!}
[/mm]
sinh(z) = [mm] \frac{1}{2}(e^z [/mm] - [mm] e^{-z}) [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^{\infty}\frac{z^{2j+1}}{(2j+1)!} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt und stehe vor obigem Problem.
Ich kann keinen Ausdruck für den Abbruchfehler finden.
Wäre nett, wenn jemand mal anschieben könnte oder mir den Ausdruck an die Hand geben könnte, damit ich mich um den Beweis kümmern kann.
Danke und beste Grüße aus Hamburg,
Theta
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 04.01.2009 | | Autor: | ullim |
Hi Theta,
hast Du es schon mal mit dem Restglied nach Lagrange versucht? In beiden Aufgaben stehen ja die Reihenentwicklungen der jeweiligen Funktionen um [mm] x_0=0. [/mm] Für den Abbruchfehler musst Du die (n+1)-te Ableitung abschätzen.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 04.01.2009 | | Autor: | Theta |
Mit Restglied nach Lagrange kann ich nichts anfangen. Habe ich in der Uni noch nicht gehabt :(
Vielleicht ein anderer Einfall?
Wir hatten bislang e-Funktion, Logarithmus, kompakte Mengen, Abschluss und sind momentan bei stetigen Funktionen und ihren Eigenschaften.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 So 04.01.2009 | | Autor: | ullim |
Hi Theta,
sagen Dir denn Taylorreihen etwas? Immerhin sollst Du ja den Restfehler einer Taylorreihen Approximation abschätzen.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:22 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Theta |
Leider habe ich auch von Taylorreihen als solche keine Ahnung. Ich habe zwar mal einem Freund ein bisschen dabei geholfen, aber mir dafür alles Wissen bei Wikipedia und in der Bibliothek angesehen.
In der Vorlesung waren Taylorreihen meines Wissens nach noch nicht explizit dran.
Ich habe jetzt folgendes zu cosh und sinh ausgearbeitet, ist das okay?
[mm] |\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!} [/mm] - [mm] \sum_{m=0}^{k}\frac{z^{2n}}{(2n)!}| [/mm] = [mm] |\sum_{n=k+1}^{\infty}\frac{z{2n}}{(2n)!}| [/mm] = [mm] |\frac{z^{2(k+1)}}{(2(k+1))!} [/mm] + [mm] \frac{z^{2(k+1)z^2}}{(2(k+1)+1)!} [/mm] + ...|
= [mm] |\frac{z^{2(k+1)}}{(2(k+1))!} (\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2^n}}{\prod_{j=0}^{n}2(k+1+j)})|
[/mm]
[mm] \le |\frac{z^{2(k+1)}}{(2(k+1))!} (\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{z^2}{2(k+2)})^n| [/mm] Ich habe hier 2(k+1+j) n-mal mit 2(k+2) abgeschätzt
Bei hinreichend großem k gilt nun:
[mm] \le \frac{z^{2(k+1)}}{(2(k+1))!} (\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n} [/mm] = 2, also:
= 2 [mm] (\frac{z^{2(k+1)}}{(2(k+1))!})
[/mm]
Für sinh mit entsprechend geänderten Werten. Dann lande ich bei:
= 2 [mm] (\frac{z^{2(k+1)+1}}{(2(k+1)+1)!})[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 08.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
