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Abelsch: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 So 07.11.2010
Autor: Julia_stud

Aufgabe
Man zeige: Ist [mm] \gamma(a) [/mm] = [mm] a^2, [/mm] a [mm] \in [/mm] G, ein Endomorphismus von G, dann
ist G Abelsch.

Ich denke dies bedeutet ich soll zeigen das gilt: ab=ba für alle a, b [mm] \in [/mm] G. Angefangen habe ich so:

Falls ein Endomorphismus 4 existiert gilt:
[mm] \gamma(a) [/mm] = [mm] a^2 [/mm]
[mm] \gamma(ab) [/mm] = [mm] \gamma(a) \gamma(b) [/mm]

...nun komme ich weder rechts noch links weiter, kann mir jemand helfen?

        
Bezug
Abelsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 So 07.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> Man zeige: Ist [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2,[/mm] a [mm]\in[/mm] G, ein Endomorphismus
> von G, dann
>  ist G Abelsch.
>  Ich denke dies bedeutet ich soll zeigen das gilt: ab=ba
> für alle a, b [mm]\in[/mm] G. Angefangen habe ich so:
>  
> Falls ein Endomorphismus 4 existiert gilt:

Willst du damit sagen: "Falls [mm] $\gamma$ [/mm] ein Endomorphismus ist gilt:"?

>  [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
>  [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]

Warum setzt du nicht mal die Definition von [mm] $\gamma$ [/mm] in die zweite Zeile ein?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Abelsch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 So 07.11.2010
Autor: Julia_stud


> Willst du damit sagen: "Falls [mm]\gamma[/mm] ein Endomorphismus ist
> gilt:"?

Genau das habe ich mir heute früh vorgenommen:)

> >  [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]

> >  [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]

>  
> Warum setzt du nicht mal die Definition von [mm]\gamma[/mm] in die
> zweite Zeile ein?

[mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
nach Definition: [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
[mm]a^2\gamma(b)[/mm] = [mm]a^2 \gamma(b)[/mm]
...steht auf beiden Seiten das Gleiche, aber auch in gleicher reihenfolge und genau diese möchte ich doch ändern!

Bezug
                        
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Abelsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 So 07.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> > Willst du damit sagen: "Falls [mm]\gamma[/mm] ein Endomorphismus ist
> > gilt:"?
>  Genau das habe ich mir heute früh vorgenommen:)
>  
> > >  [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]

>  > >  [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]

>  >  
> > Warum setzt du nicht mal die Definition von [mm]\gamma[/mm] in die
> > zweite Zeile ein?
>  
> [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
>  nach Definition:
> [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
>  [mm]a^2\gamma(b)[/mm] = [mm]a^2 \gamma(b)[/mm]
>  ...steht auf beiden Seiten
> das Gleiche, aber auch in gleicher reihenfolge und genau
> diese möchte ich doch ändern!

Das ist doch Quark.

Da stand [mm] $\gamma(a [/mm] b)$ auf der linken Seite und nicht [mm] $\gamma(a) \gamma(b)$. [/mm]

Warum tust du dann so, als haette da [mm] $\gamma(a) \gamma(b)$ [/mm] gestanden?

Und [mm] $\gamma(b) [/mm] = [mm] b^2$. [/mm] Das kannst du ruhig auch benutzen.

LG Felix


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Abelsch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 So 07.11.2010
Autor: Julia_stud


> > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
>  >  nach Definition:
> > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
>  >  [mm]a^2\gamma(b)[/mm] = [mm]a^2 \gamma(b)[/mm]
>  >  ...steht auf beiden
> Seiten
> > das Gleiche, aber auch in gleicher reihenfolge und genau
> > diese möchte ich doch ändern!
>
> Das ist doch Quark.
>  
> Da stand [mm]\gamma(a b)[/mm] auf der linken Seite und nicht
> [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm].
>  
> Warum tust du dann so, als haette da [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> gestanden?
>  
> Und [mm]\gamma(b) = b^2[/mm]. Das kannst du ruhig auch benutzen.
>  
> LG Felix

[mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
nach Definition gilt: [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
[mm]a^2b^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
kann ich jetzt aus dem kommutativgesetzt der multiplikation schließen, dass G Abelsch ist?

Bezug
                                        
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Abelsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 So 07.11.2010
Autor: fred97


> > > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
>  >  >  nach
> Definition:
> > > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
>  >  >  [mm]a^2\gamma(b)[/mm] = [mm]a^2 \gamma(b)[/mm]
>  >  >  ...steht auf
> beiden
> > Seiten
> > > das Gleiche, aber auch in gleicher reihenfolge und genau
> > > diese möchte ich doch ändern!
> >
> > Das ist doch Quark.
>  >  
> > Da stand [mm]\gamma(a b)[/mm] auf der linken Seite und nicht
> > [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm].
>  >  
> > Warum tust du dann so, als haette da [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
> > gestanden?
>  >  
> > Und [mm]\gamma(b) = b^2[/mm]. Das kannst du ruhig auch benutzen.
>  >  
> > LG Felix
>  
> [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
>  nach Definition gilt:
> [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
>  [mm]a^2b^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
>  kann ich jetzt aus dem kommutativgesetzt
> der multiplikation schließen, dass G Abelsch ist?


Was machst Du denn da ?

Es ist [mm] \gamma(ab)= (ab)^2= [/mm] abab

Also:  aus  [mm] \gamma(ab)=\gamma(a)* \gamma(b) [/mm]  folgt:

                  [mm] abab=a^2b^2 [/mm]

Jetzt Du

FRED


Bezug
                                                
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Abelsch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 So 07.11.2010
Autor: Julia_stud


> > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
>  >  nach Definition
> gilt:
> > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
>  >  [mm]a^2b^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
>  >  kann ich jetzt aus dem
> kommutativgesetzt
> > der multiplikation schließen, dass G Abelsch ist?
>
>
> Was machst Du denn da ?
>  
> Es ist [mm]\gamma(ab)= (ab)^2=[/mm] abab
>  
> Also:  aus  [mm]\gamma(ab)=\gamma(a)* \gamma(b)[/mm]  folgt:
>  
> [mm]abab=a^2b^2[/mm]
>  
> Jetzt Du
>  
> FRED

[mm]abab=a^2b^2[/mm]
[mm]abab=aabb^[/mm]
[mm]aabb=aabb^[/mm]

Vielen Dank

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Abelsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 So 07.11.2010
Autor: felixf


> > > [mm]\gamma(ab)[/mm] = [mm]\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
>  >  >  nach Definition
> > gilt:
> > > [mm]\gamma(a)[/mm] = [mm]a^2[/mm]
>  >  >  [mm]a^2b^2[/mm] = [mm]a^2 b^2[/mm]
>  >  >  kann ich jetzt aus dem
> > kommutativgesetzt
> > > der multiplikation schließen, dass G Abelsch ist?
> >
> >
> > Was machst Du denn da ?
>  >  
> > Es ist [mm]\gamma(ab)= (ab)^2=[/mm] abab
>  >  
> > Also:  aus  [mm]\gamma(ab)=\gamma(a)* \gamma(b)[/mm]  folgt:
>  >  
> > [mm]abab=a^2b^2[/mm]
>  >  
> > Jetzt Du
>  >  
> > FRED
>  
> [mm]abab=a^2b^2[/mm]
>  [mm]abab=aabb^[/mm]
>  [mm]aabb=aabb^[/mm]

... und? Was haben diese drei Aussagen miteinander zu tun?

LG Felix


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Abelsch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 So 07.11.2010
Autor: Julia_stud

Da die multiplikation kommutativ ist und auf beiden seiten die selben Faktoren stehen ist das produkt gleich. Wo ist mein Fehler?

Bezug
                                                                        
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Abelsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 So 07.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> Da die multiplikation kommutativ ist und auf beiden seiten
> die selben Faktoren stehen ist das produkt gleich. Wo ist
> mein Fehler?

Der Fehler ist, dass du verwendest, das die Multiplikation kommutativ ist.

Lies dir die Aufgabenstellung nochmal genau durch.

LG Felix



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Abelsch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 So 07.11.2010
Autor: Julia_stud

joa...ich möchte zeigen das G Abelsch ist...aber wie kann ich sonst mit
[mm] abab=a^2b^2 [/mm] weiter arbeiten?
jede Umordnung setzt die kommutativität vorraus und eine weitere definition zum einsetzen habe ich auch nicht...daher stimmt auch dies nicht:
[mm] abab=a^2b^2 \gdw abab=(ab)^2 [/mm] oder [mm] abab=a^2b^2 \gdw a^2b^2=a^2b^2 [/mm]


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Abelsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 So 07.11.2010
Autor: felixf

Hallo!

> joa...ich möchte zeigen das G Abelsch ist...aber wie kann
> ich sonst mit
> [mm]abab=a^2b^2[/mm] weiter arbeiten?

Na, mit etwas passendem multiplizieren zum Beispiel.

Du musst etwas mehr selber probieren und nicht kurz gucken, nix sehen und gleich noch eine Frage hier stellen.

LG Felix


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Abelsch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 So 07.11.2010
Autor: Julia_stud

$ [mm] \gamma(ab)=\gamma(a) \gamma(b) [/mm] $
[mm] (ab)^2=a^2b^2 [/mm]
$ [mm] abab=a^2b^2 [/mm] $   $*1/b $
$ [mm] aba=a^2 [/mm] b $  $ *1/a $
$ ba=ab^ $    ich komme einfach nicht darauf wie ich beide seiten in die gleiche Reihenfolge bekomme...kann mir jemand helfen?

Gruß Julia

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Abelsch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 So 07.11.2010
Autor: angela.h.b.

Hallo,

statt [mm] \bruch{1}{a} [/mm] solltest Du lieber [mm] a^{-1} [/mm] schreiben.
Wir haben's hier ja mit einer beliebigen gruppe zu tun und nicht mit ganzen Zahlen oder so.

> [mm]\gamma(ab)=\gamma(a) \gamma(b)[/mm]
>  [mm](ab)^2=a^2b^2[/mm]
>  [mm]abab=a^2b^2[/mm] |  [mm]*1/b[/mm]
>  [mm]aba=a^2 b[/mm] | [mm]*1/a[/mm]

Schreib das nicht so, sondern führe die Multiplikationen wirklich aus.
Hier kommt es ja darauf an, daß Du an die richtige Seite multiplizierst.

>  [mm]ba=ab^[/mm]    ich komme einfach nicht darauf wie ich beide
> seiten in die gleiche Reihenfolge bekomme

Warum  willst Du das?
Wenn aus der Eigenschaft Deines Endomorphismus folgt, daß ab=ab, dann könntest Du gleich im Bett liegen bleiben und träumen, statt hier herumzurechnen: diese Aussage wäre nicht sehr bedeutungsvoll...

Ich verstehe nicht, was Du noch willst jetzt.
Du wolltest doch zeigen, daß aus der Eigenschaft Deiner Abbildung folgt, daß g kommutativ ist, daß für alle a,b also gilt ab=ba.
warum gefällt Dir das jetzt nicht?

Gruß v. Angela


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