Abelsch Gruppe G Untergruppe H < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
| Aufgabe | Sei (G, + ) eine abelsche Gruppe. Eine Teilmenge H [mm] \subseteq [/mm] G heißt Untergruppe von H, wenn
* 0 [mm] \in [/mm] H
* [mm] h_1 [/mm] + [mm] h_2 \in [/mm] H für alle [mm] h_1 [/mm] , [mm] h_2 \in [/mm] H
* Für alle h [mm] \in [/mm] H gibt es ein h' [mm] \in [/mm] H mit h + h' = 0
Zeigen sie
i.) Die Relation mit a ~ b, wenn a - b [mm] \in [/mm] H, ist eine Äquivalenzrelation auf G.
ii.) Ist die Anzahl der Elemente von G und H gleich n bzw. m, so gilt m | n |
Bei der i.) denke ich, habe ich ansatzweise verstanden, vorum es geht:
Äquivalenzrelation bedeutet, sie ist...
... reflexiv: [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A : (a, a) [mm] \in [/mm] G
[mm] \Rightarrow [/mm] a-a = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] H
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] G, damit ist die Relation Reflexiv
... symmtetrisch: (a, b) [mm] \in [/mm] G [mm] \gdw [/mm] (b, a) [mm] \in [/mm] G
[mm] \Rightarrow [/mm] a - b
(da G abelsche Gruppe ist, gilt die kommutativität)
[mm] \Rightarrow [/mm] a - b [mm] \Rightarrow [/mm] b - a [mm] \Rightarrow [/mm] a - b = b - a
... transitiv: (a, b) [mm] \in [/mm] G und (b, c) [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] (a, c) [mm] \in [/mm] G
[mm] \Rightarrow [/mm] a - b und b - c
(wegen (G, +) als abelsche Gruppe, folgt)
[mm] \Rightarrow [/mm] (a - b) + (b - c) = a + 0 - c [mm] \Rightarrow [/mm] a - c
[mm] \Rightarrow [/mm] (a, c) [mm] \in [/mm] G
Damit ist die Relation in G auch transitiv.
Damit definiert die Relation eine Äquivalenzrelation auf G.
zu ii.)
Hier habe ich wesentliche Schwierigkeiten beim Verständnis. Wir haben bei einer Vortragsübung einen Tipp bekommen:
<Tipp>
Es gelte ja H [mm] \subseteq [/mm] G
Dann gelte auch |H| [mm] \le [/mm] |G|
(auf meinem Blatt steht noch: |H| | |G| ("Betrag H teilt Betrag G"))
Zu zeigen ist:
es gibt ein element g [mm] \in [/mm] G, dann ist die Äquivalenzklasse [g] = g + H = {g + h | h [mm] \in [/mm] H}
dann noch: | g+ H | = |H| (diese 2 Mengen sollen gleichmächtig sein, warum?)
|G| = Summe der Äquivalenzklassen.
</Tipp>
Diese Tipps kann ich nciht so richtig deuten, kann sie mir jemand erklären? oder einen anderen Ansatz erklären? (bzw. Was muss ich bei der ii.) machen?)
mfg,
Dezt
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Deztiny,
achte bitte darauf, Folgepfeile [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nur zu setzen, wenn das Folgende aus dem Vorhergehenden folgt.
> Äquivalenzrelation bedeutet, sie ist...
>
> ... reflexiv: [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A : (a, a) [mm]\in[/mm] G a~a
> [mm]\red{\not\Rightarrow}[/mm] a-a = 0
> [mm]\red{\not\Rightarrow}[/mm] 0 [mm]\in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\in[/mm] G, damit ist die Relation Reflexiv
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ... symmtetrisch: (a, b) [mm]\in[/mm] G [mm]\gdw[/mm] (b, a) [mm]\in[/mm] G [mm] a~b$\gdw$b~a
[/mm]
> [mm]\red{\not\Rightarrow}[/mm] a - b
> (da G abelsche Gruppe ist, gilt die kommutativität)
> [mm]\red{\not\Rightarrow}[/mm] a - b [mm]\red{\not\Rightarrow}[/mm] b - a [mm]\Rightarrow[/mm] a - b = b - a
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, + ist kommutativ, - aber im Allgemeinen nicht. Etwa in der abelschen Gruppe der reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition gilt [mm] $2-1\not=1-2$.
[/mm]
> ... transitiv: (a, b) [mm]\in[/mm] G und (b, c) [mm]\in[/mm] G [mm]\Rightarrow[/mm]
> (a, c) [mm]\in[/mm] G a~b und b~c [mm] $\Rightarrow$ [/mm] b~c
> [mm]\Rightarrow[/mm] a - b und b - c sind Elemente von H
> (wegen (G, +) als abelsche Gruppe, folgt)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a - b) + (b - c) = a + 0 - c [mm]\red{\not\Rightarrow=}[/mm] a -
> c [mm] $\red{\in H}$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a, c) [mm]\in[/mm] G a~c
> Damit ist die Relation in G auch transitiv.
> Damit definiert die Relation eine Äquivalenzrelation auf
> G.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 13.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
Zur Symmetrie:
Also ist das vielleicht eher so begründet?
Die Relation a ~ b, ist:
a - b.
Zu Zeigen ist, dass b ~ a [mm] \in [/mm] H ist, also:
a - b [mm] \gdw [/mm] b - a
(da G abelsche Gruppe ist, gibt es zu jedem Element ein inverses Element.)
Zuerst Zeige ich das neutrale Element...
Ein Element e [mm] \in [/mm] H ist neutral, wenn gilt:
a + e = a = e + a
(wähle e = 0)
a + 0 = a = 0 + a.
0 [mm] \in [/mm] H ist neutrales Element.
Inverses Element:
[mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] H : [mm] \exists [/mm] h' [mm] \in [/mm] H : h + h' = 0
[mm] "\Rightarrow" [/mm] (h sei (a - b))
(wähle h' = - (a - b) )
(a - b) + (- (a - b)) = a - b - a + b = 0
[mm] "\Leftarrow" [/mm] (h sei (b - a))
(wähle h' = - (b - a))
(b - a) + (- (b - a)) = b - a - b + a = 0.
Damit ist dies eine Äquivalenzrelation auf G?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Zur Symmetrie:
>
> Also ist das vielleicht eher so begründet?
>
> Die Relation a ~ b, ist:
> a - [mm] b$\red{\in H}$.
[/mm]
> Zu Zeigen ist, dass b - a [mm]\in[/mm] H ist, also:
>
> a - [mm] b$\red{\in H}$[/mm] [mm]\gdw[/mm] b - [mm] a$\red{\in H}$
[/mm]
Bis hierhin passt es. Es reicht übrigens die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] zu zeigen.
> (da G abelsche Gruppe ist, gibt es zu jedem Element ein
> inverses Element.)
> Zuerst Zeige ich das neutrale Element...
> Ein Element e [mm]\in[/mm] H ist neutral, wenn gilt:
> a + e = a = e + a
> (wähle e = 0)
> a + 0 = a = 0 + a.
> 0 [mm]\in[/mm] H ist neutrales Element.
Was tust du da? Nachweis irgendeiner Gruppeneigenschaft für H? Wir wissen schon, dass H eine Untergruppe von G und somit eine Gruppe ist. Und e und 0 sind doch nur verschiedene Schreibweisen für das neutrale Element von H bzw. G.
> Inverses Element:
> [mm]\forall[/mm] h [mm]\in[/mm] H : [mm]\exists[/mm] h' [mm]\in[/mm] H : h + h' = 0
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] (h sei (a - b))
> (wähle h' = - (a - b) )
> (a - b) + (- (a - b)) = a - b - a + b = 0
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] (h sei (b - a))
> (wähle h' = - (b - a))
> (b - a) + (- (b - a)) = b - a - b + a = 0.
Wieder kann ich nicht folgen, was du da tust. Welche Äquivalenz möchtest du beweisen?
Gegeben hast du [mm] $a-b\in [/mm] H$. Zeigen musst du [mm] $b-a\in [/mm] H$. Nutze dazu, dass $b-a=-(a-b)$ gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 13.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
Muss ich also einfach nur schreiben:
Wenn gegeben:
a - b [mm] \in [/mm] H
dann ist auch - (a - b) [mm] \in [/mm] H (weil H eine Gruppe ist?)
- (a - b) = b - a
Damit ist (b - a) [mm] \in [/mm] H, Symmetrie bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Muss ich also einfach nur schreiben:
> Wenn gegeben:
> a - b [mm]\in[/mm] H
> dann ist auch - (a - b) [mm]\in[/mm] H (weil H eine Gruppe ist?)
Genau, weil H eine Untergruppe von G ist.
> - (a - b) = b - a
> Damit ist (b - a) [mm]\in[/mm] H, Symmetrie bewiesen?
Sehr gut!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> zu ii.)
> Hier habe ich wesentliche Schwierigkeiten beim
> Verständnis. Wir haben bei einer Vortragsübung einen Tipp
> bekommen:
> <Tipp>
> Es gelte ja H [mm]\subseteq[/mm] G
> Dann gelte auch |H| [mm]\le[/mm] |G|
> (auf meinem Blatt steht noch: |H| | |G| ("Betrag H teilt
> Betrag G"))
> Zu zeigen ist:
> es gibt ein element g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G, dann ist die
> Äquivalenzklasse [g] = g + H = $\{$g + h | h [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H$\}$
> dann noch: | g+ H | = |H| (diese 2 Mengen sollen
> gleichmächtig sein, warum?)
> |G| = Summe der Äquivalenzklassen.
> </Tipp>
>
> Diese Tipps kann ich nciht so richtig deuten, kann sie mir
> jemand erklären? oder einen anderen Ansatz erklären?
> (bzw. Was muss ich bei der ii.) machen?)
Ich zäume das Pferd mal von hinten auf: Ziel ist zu zeigen, dass jede Äquivalenzklasse genau m Elemente hat.
Dann gilt nämlich mit A:=\{[g]|g\in G\} die Menge der Äquivalenzklassen:
$n=|G|=\sum_{M\in A} |M|=\sum_{M\in A} m=|A|\cdot m$
und somit $m|n$. Die zweite Gleichheit in der Gleichungskette gilt dabei, weil G die disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklassen ist.
Wie zeigen wir nun, dass die Äquivalenzklasse [g] beliebige $g\in G$ genau m Elemente hat? Dazu zeige:
1. [g]=g+H
2. |g+H|=|H|=m
Zu 1.: Hier würde ich beide Inklusionen zeigen.
Zu 2.: Finde eine sinnvolle Abbildung von H nach g+H und zeige, dass sie bijektiv ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 13.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
zu 1.)
Wir hatten "Inklusionen" (od. Inklusionsabblidungen) noch nie definiert.
Da weiß ich leider nicht, wie anzusetzen ist.
Eine Inklusion ist eine Abbildung einer Teilmenge in Ihre Grundmenge. Gemeint ist H [mm] \to [/mm] G ?
zu 2.)
Eine sinnvolle Abbildung:
f : h [mm] \to [/mm] g + h
(? sinnvoll ?)
Injektiv:
[mm] \forall [/mm] h , h' [mm] \in [/mm] H : f( h ) = f ( h' )
muss ich irgendwie folgern, dass h = h'
Zugegeben, ich verstehe die Problemstellung immer noch nicht ganz, daher kann ich hier wohl auch nicheinmal ansetzen :(
Surjektiv: (ebenfalls unklar, mehr als die definition, bekomme ich hier nicht raus).
Bijektivität [mm] \gdw [/mm] f: injektiv und surjektiv
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> zu 1.)
> Wir hatten "Inklusionen" (od. Inklusionsabblidungen) noch
> nie definiert.
> Da weiß ich leider nicht, wie anzusetzen ist.
> Eine Inklusion ist eine Abbildung einer Teilmenge in Ihre
> Grundmenge. Gemeint ist H [mm]\to[/mm] G ?
Mit Inklusion meinte ich einfach Teilmengenbeziehung, nicht Inklusionsabbildungen. Sorry für mein Kauderwelsch.
Gemeint war schlichtweg: Zeige [mm] $[g]\subseteq [/mm] g+H$ und [mm] $[g]\supseteq [/mm] g+H$.
> zu 2.)
> Eine sinnvolle Abbildung:
> f : h [mm]\red{\not\to\mapsto}[/mm] g + h
> (? sinnvoll ?)
Ja, diese Abbildung meinte ich.
> Injektiv:
> [mm]\forall[/mm] h , h' [mm]\in[/mm] H : f( h ) = f ( h' )
> muss ich irgendwie folgern, dass h = h'
> Zugegeben, ich verstehe die Problemstellung immer noch
> nicht ganz, daher kann ich hier wohl auch nicheinmal
> ansetzen :(
Dein Ansatz ist völlig richtig. Schreibe f(h) und f(h') mal konkret aus.
> Surjektiv: (ebenfalls unklar, mehr als die definition,
> bekomme ich hier nicht raus).
Sei also [mm] $i\in [/mm] g+H$.
Gesucht ist ein [mm] $h\in [/mm] H$ mit $f(h)=i$, also mit $g+h=i$.
Da [mm] $i\in [/mm] g+H$ ...
> Bijektivität [mm]\gdw[/mm] f: injektiv und surjektiv
Genau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 13.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
1.) [g] = g + H
Zeige:
[mm] "\subseteq"
[/mm]
Nach Def. [g] := { h [mm] \in [/mm] H : h ~ g }
d.h. h ~ g [mm] \Rightarrow [/mm] h + g [mm] \Rightarrow [/mm] (kommutativ) g + h, mit h [mm] \in [/mm] H ist diese Richtung schon bewiesen?
[mm] "\supseteq"
[/mm]
Sei h [mm] \in [/mm] H und g [mm] \in [/mm] G
Für (G, +) ist die Relation "+" eine Äquivalenzrelation, also
g + h [mm] \Rightarrow [/mm] g ~ h [mm] \Rightarrow [/mm] [g]
(geht das so, oder etwa so?)
2.) |g + H| = |H| = m
Abbildung ist f: h [mm] \mapsto [/mm] g + h
Injektiv?
[mm] \forall [/mm] h, h' [mm] \in [/mm] H : f(h) = f(h')
[mm] \Rightarrow [/mm] (g + h) = (g + h)'
(hier schon fertig?)
Ist also Injektiv.
Surjektiv?
Sei i [mm] \in [/mm] g + H.
[mm] \Rightarrow [/mm] i [mm] \in [/mm] f(h) und aus f(h) = g + h folgt, dass f(h) = g + h = i ist.
(hier bin ich mir erst recht nicht sicher)
Damit ist f surjektiv.
Surjektiv und Injektiv [mm] \gdw [/mm] : bijektiv
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Mo 14.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> 1.) [g] = g + H
>
> Zeige:
> [mm]"\subseteq"[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Nach Def. [g] := $\{$ h [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
HG : h ~ g $\}$
> d.h. h ~ g [mm]\Rightarrow[/mm] h + g [mm]\Rightarrow[/mm] (kommutativ) g +
> h, mit h [mm]\in[/mm] H ist diese Richtung schon bewiesen?
Ich kann dir nicht folgen.
Sei [mm] $i\in [/mm] [g]$, also [mm] $i\in [/mm] G$ mit i~g, d.h. [mm] $i-g\in\ldots$. [/mm] Also [mm] $i=g+(i-g)\in\ldots$.
[/mm]
> [mm]"\supseteq"[/mm]
> Sei h [mm]\in[/mm] H und g [mm]\in[/mm] G
> Für (G, +) ist die Relation "+" eine Äquivalenzrelation,
+ ist keine Relation (sondern eine Verknüpfung).
> also
> g + h [mm]\Rightarrow[/mm] g ~ h [mm]\Rightarrow[/mm] [g]
> (geht das so, oder etwa so?)
Nein.
Nimm auch für [mm] $"\supseteq"$ [/mm] wie üblich bei Teilmengenbeweisen ein Element aus der einen Menge [mm] ($i\in [/mm] g+H$, d.h. ...) und zeige, dass es in der anderen Menge liegt (also dass [mm] $i\in [/mm] [g]$, d.h. ...).
> 2.) |g + H| = |H| = m
> Abbildung ist f: h [mm]\mapsto[/mm] g + h
> Injektiv?
> [mm]\forall[/mm] h, h' [mm]\in[/mm] H : f(h) = f(h')
> [mm]\Rightarrow[/mm] (g + h) = (g + h)'
> (hier schon fertig?)
Zu zeigen ist $h=h'$. Das folgt durch Subtraktion von g auf beiden Seiten deiner Gleichung.
> Ist also Injektiv.
> Surjektiv?
> Sei i [mm]\in[/mm] g + H.
> [mm]\Rightarrow[/mm] i [mm]\red{\not\in}[/mm] f(h) und aus f(h) = g + h folgt, dass für ein [mm] $\red{h\in H}$. [/mm] Also
> f(h) = g + h = i ist.
> (hier bin ich mir erst recht nicht sicher)
> Damit ist f surjektiv.
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