Abelsche Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Sa 05.11.2016 | | Autor: | tom1991 |
Hallo zusammen,
Ich brauche eure Hilfe beim Beweis folgender Aussage: "In einer endlichen abelsche Gruppe teilt die Ordnung jedes Elements die maximal auftretende Elementordnung"
Also mal in Formeln: Sei a ein Element mit maximaler Ordnung, sei ord(a) = n. Sei b aus G mit ord(b) = m. Dann folgt, dass m ein Teiler von n sein muss.
Mir ist klar, dass m ≤ n sein muss, und dass sich folgende Fallunterscheidung anbietet:
1. Fall: m=n, dann ist die Aussage trivialerweise klar.
2. Fall: m < n. Und genau hier komme ich nicht weiter.
Was ich sonst noch weiß, ist dass ord(ab) ein Teiler von kgv(mn) sein muss, und dass das irgendwie hier eine Rolle spielt.
Vielen Dank für eure Tipps!
Tom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 So 06.11.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Wenn $m$ kein Teiler von $n$ ist, dann gibt es zwei Fälle
1. $m$ hat einen Primteiler, der kein Primteiler von $n$ ist
2. die Primteiler von $m$ sind Primteiler von $n$
Diese beiden Fälle würde ich separat behandeln. Nützlich in beiden Situation sind die folgenden Lemmata, die ihr bestimmt schon behandelt habt oder sich leicht schlussfolgern lassen:
1. Sind [mm] $a,b\in [/mm] G$ mit $o(a)= k$ und $o(b)=l$, wobei $k$ und $l$ teilerfremd sind, so ist $o(ab)= kl$
2. Ist [mm] $x\in [/mm] G$ mit $o(x)= kl$, wobei [mm] $k,l\in \IN$ [/mm] teilerfremd sind, so gibt es [mm] $a,b\in [/mm] G$ (sogar [mm] $\in [/mm] <x>$) mit $o(a)= k$ und $o(b)=l$.
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