Abelsche Gruppen in Normalform < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $G$ eine abelsche Gruppe in Normalform, d.h.: [mm] $G=C_{n_1}\oplus\ldots\oplus C_{n_r}$, [/mm] mit [mm] $n_i|n_{i+1}$, $1\le i\le [/mm] r-1$ und [mm] $n_1\ne [/mm] 1$.
(1) Zu zeigen: Für alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt $n_rg=0$
(2) Zu bestimmen: Alle abelschen Gruppen der Ordnung 72 |
Mein erstes Problem dabei ist schon mal, dass ich nicht verstehe, was genau es für $G$ bedeutet in Normalform zu sein. Ist dadurch eine genauere Struktur der [mm] $C_{n_i}$ [/mm] vorgegeben? Oder sind das einfach irgendwelche Untergruppen, die eben als direkte Summe geschrieben $G$ ergeben?
Wenn [mm] $n_rg=g+\ldots [/mm] +g$ [mm] ($n_r$-mal) [/mm] Null ergibt, würde das ja bedeuten, dass [mm] $n_r$ [/mm] die Ordnung von $G$ ist.
Aber wie gesagt: Warum indiziere ich die Untergruppen mit dieser aufsteigenden Folge von Teilern? Ich kann leider nichts dazu in meinem Skript ausmachen.
Liebe Grüße
Differential
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Hallo Differential
Ich glaube folgende Notation scheint dir nicht kalr gewesen zu sein: Mit [mm] $C_a$ [/mm] ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $a$ gemeint, der Index unten ist also mehr als ein Index, sondern enthält Informationen über die Gruppe, welche natürlich auch wichtig sind.
Für die (1) mache dir die universelle Eigenschaft der direkten Summe zunutze: Jedes Element kann auf eindeutige Weise als [mm] $g=g_1+...+g_r$ [/mm] mit [mm] $g_i\in C_{n_i}-\{0\}$ [/mm] geschrieben werden. Dann verwende das Distributivgesetz und denke an die Teilbarkeitsbeziehungen der Indizes.
> Wenn [mm]n_rg=g+\ldots +g[/mm] ([mm]n_r[/mm]-mal) Null ergibt, würde das ja
> bedeuten, dass [mm]n_r[/mm] die Ordnung von [mm]G[/mm] ist.
In der trivialen Gruppe [mm] $\{0\}$ [/mm] gilt für jede natürliche Zahl $n$, dass [mm] $n\cdot [/mm] 0=0$. Trotzdem ist die Ordnung $1$.
Für die (2) wäre eine Primfaktorzerlegung erstmal ganz nützlich, und dass du dir den Hauptsatz nochmal genau ansiehst.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo UniversellesObjekt,
und vielen Dank für deine Antwort. Wir haben also [mm] $G\ni g=g_1+\ldtos +g_r$ [/mm] mit [mm] $g_i\in C_{n_i}$ [/mm] (warum ohne $0$?).
Damit ist [mm] $n_rg=n_rg_1+\ldots +n_rg_r$. [/mm] Wenn [mm] $n_i$ [/mm] die Ordnung von [mm] $C_{n_i}$ [/mm] angibt, so haben wir schon mal [mm] $n_rg_r=0$.
[/mm]
Aufgrund der Teilbarkeiten ist [mm] $n_{r_i}*x_i=n_{r_i+1}$ [/mm] mit [mm] $0\ne x_i\in\mathbb{Z}$. [/mm] Damit ist [mm] $n_r=n_i*x_i*\ldots *x_{r-1}$ [/mm] und somit alle [mm] $n_rg_i=0$.
[/mm]
Passt das soweit? Zur (ii) habe ich leider keine genaue Idee. Der Hauptsatz sagt: Wird eine abelsche Gruppe $G$ von $m$ Elementen ($m$ minimal) erzeugt, so existieren [mm] $n_1,\ldots,n_r\in\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $n_i|n_{i+1}$ ($1\le i\le [/mm] r-1$) und [mm] $G\cong\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}/n_r\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}^{m-r}$.
[/mm]
Ich habe Schwierigkeiten dies konstruktiv einzusetzen. Hast du da noch eine Idee? Soll ich eine Primfaktorzerlegung für [mm] $72=2^33^2$ [/mm] finden?
Liebe Grüße
Differential
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Hi,
Ich antworte dir nachher nochmal richtig. Wollte mur sagen, das ohne null von mir war falsch, das hast du richtig erkannt.
Lg
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Hi,
kannst du mir noch etwas zu meiner letzten Frage sagen? Ich danke dir schon mal vorab ;)
Liebe Grüße
Differential
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Deine Lösung zur ersten Aufgabe sieht richtig aus.
Zur zweiten Aufgabe: Jede Gruppe der Ordnung 72 besitzt also eine solche Darstellung. Du musst jetzt nur alle Arten finden, wie du die 72 in Faktoren [mm] $n_1,...n_r$ [/mm] zerlegen kannst, sodass [mm] $n_i|n_{i+1}$.
[/mm]
Hinweis zur Selbstkontrolle: Es gibt 6 Möglichkeiten.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hi,
das habe ich indirekt ja schon getan, oder? Wenn [mm] $72=2^33^2$ [/mm] ist, dann gibt es $2*3=6$ Möglichkeiten.
Nämlich: $(72)$, $(2,36)$, $(4,18), $(6,12) $(2,2,18)$, $(2,6,6)$
Diese seien dann jeweils die [mm] $N_1,\ldots$,N_r$.
[/mm]
Müsste passen, oder?!
Liebe Grüße
Differential
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Hi,
Deine vierte und sechste Lösung sind nicht korrekt, beachte die Teilbarkeit.
Liebe Grüße
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Ja, du hast recht. Ich habes mal korrigiert.
Lieben Gruß und vielen Dank für deine Hilfe!
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Hi,
Ich habe es wohl eben übersehen, die (4, 18) passt auch noch nicht.
Lg
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