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| Aufgabe | Es sei A ein abgeschlossene Teilmenge des metrischen Raumes $(X,d)$ und B eine kompakte, zu A disjunkte Teilmenge von X. Zeigen Sie, dass eine positive Zahl [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] existiert, so dass $d(a,b) [mm] \ge \varepsilon_0$ [/mm] für alle a in A und alle b in B.
Hinweis: Wenn die Behauptung falsch wäre, dann gäbe es eine abgeschlossene Menge $A [mm] \subset [/mm] X$ und eine dazu disjunkte und kompakte Menge B sowie zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] Elemente [mm] $a_n \in [/mm] A$ und [mm] $b_n \in [/mm] B$ mit [mm] $d(a_n,b_n) \le \frac{1}{n}$ [/mm] |
Irgendwie werd ich aus der Aufgabe nicht schlau.
Also ich meine, was ist denn wenn ich einfach folgendes wähle:
Sei [mm] $\varepsilon_0 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \underset{a\in A, b\in B}{\mathit{min}} \left \{ d(a,b) \right \} [/mm] > 0$.
Denn der Abstand ist immer positiv und immer ungleich 0, da A und B disjunkte und abgeschlossene Mengen sind.
Damit gilt: $d(a,b) [mm] \ge \varepsilon_0 \quad \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B$.
Das kann aber so nicht stimmen. Wozu dann der Hinweis? Und das B kompakt ist, hab ich auch nicht benötigt.
Weiß einer wo mein Fehler ist? Das ist doch zu simpel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Di 29.11.2011 | | Autor: | offthegrid |
Was garantiert dir, dass das Minimum angenommen wird? Wähle zum Beispiel: [mm] A=\{(x,y)\in \IR^2 | 0 \leq x, y \geq \frac{1}{x}\} [/mm] und [mm] B=\{(x,y)\in \IR^2 | 0 \leq x, y \leq -\frac{1}{x}\}. [/mm] Dann ist [mm] \inf_{a\in A b\in B} [/mm] d(a,b) = 0. Da A und B disjunkt, existiert das Minimum also nicht.
Die Idee ist, dass du dir Folgen wählst, die d(a,b) minimieren und die Kompaktheit bzw. Abgeschlossenheit ausnützt.
Ich hoffe, das hilft weiter!
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Hmm. Da bin ich mir grad etwas unsicher.
Also ich wähle mir eine Folge [mm] $a_n \in [/mm] A$ und [mm] $b_n \in [/mm] B$ mit [mm] $\underset{n \to \infty }{lim} a_n [/mm] = a [mm] \in [/mm] A$ und [mm] $\underset{n \to \infty }{lim} b_n [/mm] = b [mm] \in [/mm] B$. Dann gilt:
[mm] $d(a_n,b_n) \ge [/mm] d(a,b) > 0$
Denn A und B sind disjunkt und abgeschlossen.
... nee das ist ja wieder genau der gleiche Fehler den ich vorher schon gemacht hab.
So komm ich auch nicht wirklich weiter...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:22 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] seien wie im Hinweis.
Da B kompakt ist, enthält [mm] (b_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge , deren Grenzwert zu B gehört.
Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass [mm] (b_n) [/mm] selbst schon konvergent ist. Sei b der Grenzwert von [mm] (b_n). [/mm] Es ist b [mm] \in [/mm] B.
Weiter ist
[mm] $d(a_n,b) \le d(a_n,b_n)+d(b_n,b) \le 1/n+d(b_n,b).$
[/mm]
Dies zeigt: [mm] (a_n) [/mm] konvergiert ebenfalls gegen b. Da A abgeschlossen ist, ist b [mm] \in [/mm] A.
Widerspruch !
FRED
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Hallo!
Ich habe die gleiche Aufgabe nun auch, nur dass mir der Hinweis fehlt.
An sich kann ich es doch genau so als Widerspruchsbeweis aufziehen, oder?
Aber dann habe ich 2 Anliegen:
1. Kann ich auch das mit dem [mm] d(a_{n},b_{n})\le [/mm] 1/n nehmen? Woher kommt das 1/n?
2. Wieso kann man ohne Einschränkung annehmen, dass [mm] (b_{n}) [/mm] selbst auch konvergiert?
Wäre toll, wenn mir hier jemand helfen kann!?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lily,
> 1. Kann ich auch das mit dem [mm]d(a_{n},b_{n})\le[/mm] 1/n nehmen?
Ja.
> Woher kommt das 1/n?
Wenn die Behauptung falsch wäre, dann gäbe es eine abgeschlossene Menge $A [mm] \subset [/mm] X$ und eine dazu disjunkte und kompakte Menge $B$ sowie zu jedem [mm] $\varepsilon_0>0$ [/mm] Elemente $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$ mit $d(a,b) [mm] \le \varepsilon_0$.
[/mm]
Insbesondere würde dies für [mm] $\varepsilon_0=\bruch1n$ [/mm] gelten.
> 2. Wieso kann man ohne Einschränkung annehmen, dass
> [mm](b_{n})[/mm] selbst auch konvergiert?
Wir wissen, dass eine Teilfolge [mm] $(b_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] gegen ein Element [mm] $b\in [/mm] B$ konvergiert. Wegen [mm] $n_k\ge [/mm] k$ für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] haben wir
[mm] $d(a_{n_k},b_{n_k})\le\bruch1{n_k}\le\bruch1k$
[/mm]
für alle [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
Also können wir die Folgen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ersetzen durch [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_{n_k})_{k\in\IN}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Di 01.05.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke!! 
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