Abgeschlossene Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Di 18.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Hallo wie gesagt habe ich noch eine Aufgabe; Ich danke euch allen. Ich bin auch dabei mit scripten zu lernen. Danke nochmal für eure Antworten.
Ist K [mm] \in \IN [/mm] und seien [mm] A_{1},..........A_{K} [/mm] abgeschlossene Teilmengen von [mm] \IR, [/mm] so ist
V:= [mm] \bigcup_{k=1}^{K} A_{k} [/mm] abgeschlossen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Di 18.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Für diesen Beweis gibt es mehrere Wege. Es kommt hier auf die VOraussetzungen an, die du machst. Wenn du z.B. den Satz als Voraussetzung hast, dass
[mm] $\bigcap_k G_k [/mm] $ offen für [mm] $G_k$ [/mm] offen für alle k,
wählst du [mm] $G_k [/mm] := M [mm] \setminus A_k$. [/mm] Dann ist
[mm] $\bigcap_k G_k [/mm] = M [mm] \setminus \left( \bigcup_k A_k \right)$.
[/mm]
Weil die linke Seite nach dem Satz offen ist, ist die rechte Seite auch offen. Und das Komplement eines Komplementes einer Menge, ist die Menge selbst. Damit folgerst du, dass [mm] $\bigcup_k A_k$ [/mm] abgeschlossen ist.
Wenn du diesen Satz als Voraussetzung nicht hast, musst du auch über den Umweg der offenen Mengen gehen und dort dir ein beliebiges x wählen, dass in dem Komplement ... und ... [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] finden, sodass für alle... naja ich glaub den Rest kennst du. 
Gruß Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Di 18.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
nur damit hier kein falscher eindruck entsteht:
im allgemeien ist der beliebige schnitt offener mengen [mm] $O_k$ [/mm] nicht offen! betrachte z.b. [m] O_k := \left] -\frac{1}{k}, \frac{1}{k} \right[ [/m]. diese mengen sind alle offen, jedoch ist
[m] \bigcap_{k \in \mathbb{N}} O_k = \bigcap_{k \in \mathbb{N}} \left] -\frac{1}{k}, \frac{1}{k} \right[ = \{0\} [/m]
nicht offen!
jedoch gilt die aussage für den endlichen schnitt: hat man endlich viele offenen mengen [mm] $O_1, \hdots, O_n$ [/mm] gegeben, so ist der endlcihe schnitt [m] \bigcap_{k=1}^n O_k [/m] wieder offen.
man sieht auch beim beweis dieser aussage, dass man endlichkeit benötigt, denn als radius der kugel um einen punkt im durchschnitt wählt man einfach das minimum der radien der kugeln in den einzelnen [mm] $O_k$ [/mm] und wenn man zum infimum übergeht (was man ja bei unendlichen familien muss), so ist dies nicht mehr zwangsläufig positiv ...
grüße
andreas
|
|
|
|
