Abgeschlossene Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | | Sei $I [mm] \subset [/mm] R $ein abgeschlossenes Intervall und $f: I [mm] \to [/mm] R $ stetig. Zeigen Sie, dass $Graph(f) [mm] :=\{(x,f(x)) \in R^2 | x \in I\}$ [/mm] abgeschlossen in [mm] $R^2$ [/mm] ist. |
Beweis:
Sei I abgeschlossen,d.h $R$\ $I$ ist offen, d.h es existiert eine [mm] $B_\epsilon(x) \subset [/mm] R$\ I.
Nun da f stetig ist,gilt für alle $ x [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$
[mm] $B_\epsilon(f(x)) \subset [/mm] R $\ I.
Ich habe das Gefühl, dass ich was falsch mache.
Bevor ich den Beweis zu ende mache, würde ich geren wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin .
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]I \subset R [/mm]ein abgeschlossenes Intervall und [mm]f: I \to R[/mm]
> stetig. Zeigen Sie, dass [mm]Graph(f) :=\{(x,f(x)) \in R^2 | x \in I\}[/mm]
> abgeschlossen in [mm]R^2[/mm] ist.
> Beweis:
>
>
> Sei I abgeschlossen,d.h [mm]R[/mm]\ [mm]I[/mm] ist offen, d.h es existiert
> eine [mm]B_\epsilon(x) \subset R[/mm]\ I.
Schau Dir die Definitionen nochmal an und verinnerliche sie, sonst wird das nix !
1. G [mm] \subset \IR^n [/mm] ist offen [mm] \gdw [/mm] zu jedem x [mm] \in [/mm] G ex. ein [mm] \varepsilon= \varepsilon(x)>0 [/mm] mit: [mm] B_\varepsilon(x) \subseteq [/mm] G.
2. F [mm] \subseteq \IR^n [/mm] ist abgeschlossen [mm] \gdw \IR^n [/mm] \ F ist offen.
Es gilt für F [mm] \subseteq \IR^n [/mm] (das hattet Ihr sicher):
(*) F ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] (a_n) [/mm] in F ist auch lim [mm] a_n \in [/mm] F.
> Nun da f stetig ist,gilt für alle [mm]x \in R \setminus I[/mm]
>
> [mm]B_\epsilon(f(x)) \subset R [/mm]\ I.
>
>
> Ich habe das Gefühl, dass ich was falsch mache.
Ja, obiges ist Quark !
Versuche die Aufgabe mit (*) zu erledigen: Sei also [mm] ((x_n, f(x_n)) [/mm] eine konvergente Folge in Graph(f).
1. Warum ist [mm] (x_n) [/mm] konvergent ?
2. Ist [mm] x_0 [/mm] der Grenzwert von ( [mm] x_n), [/mm] warum gilt dann [mm] x_0 \in [/mm] I ?
3. Warum ist [mm] (f(x_n)) [/mm] konvergent ?
4. Warum gilt [mm] f(x_n) \to f(x_0) [/mm] ?
Siehst Du nun, wie Du zu lim [mm] (x_n, f(x_n) \in [/mm] Graph(f) kommst ?
FRED
> Bevor ich den Beweis zu ende mache, würde ich geren
> wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin .
>
>
> Viele Grüße
>
>
> Nadia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
genau das habe ich in meiner Vorlesung nicht gefunden* (F ist abgeschlossen $ [mm] \gdw [/mm] $ für jede konvergente Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ in F ist auch lim $ [mm] a_n \in [/mm] $ F).
Jetzt wird das ganze einfacher :)
Also,
Sei also $ [mm] ((x_n, f(x_n)) [/mm] $ eine konvergente Folge in Graph(f)
Da $I$ abgeschlossen, folgt mit (*) [mm] $(x_n \to x_0) \in [/mm] I $,
da f stetig ist [mm] $\Rightarrow f(x_n) \to f(x_0) [/mm] $ also ist [mm] $f(x_n) \in [/mm] R$ konvergent.
Dies liefert [mm] $((x_n, f(x_n)) \to ((x_0, f(x_0))) \in [/mm] Graphf $, wobei [mm] $x_n \in [/mm] (I)$
Ich habe das Gefühl, etwas vergessen zu haben :)
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> genau das habe ich in meiner Vorlesung nicht gefunden* (F
> ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente Folge [mm](a_n)[/mm]
> in F ist auch lim [mm]a_n \in[/mm] F).
>
>
> Jetzt wird das ganze einfacher :)
>
> Also,
>
> Sei also [mm]((x_n, f(x_n))[/mm] eine konvergente Folge in Graph(f)
Dann folgt, dass [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (f(x_n)) [/mm] konvergente Folgen sind.
>
> Da [mm]I[/mm] abgeschlossen, folgt mit (*) [mm](x_n \to x_0) \in I [/mm],
Das ist komisch formuliert. Besser: da I abgeschlossen ist, ist [mm] x_0 \in [/mm] I.
>
> da f stetig ist [mm]\Rightarrow f(x_n) \to f(x_0) [/mm] also ist
> [mm]f(x_n) \in R[/mm] konvergent.
>
> Dies liefert [mm]((x_n, f(x_n)) \to ((x_0, f(x_0))) \in Graphf [/mm],
> wobei [mm]x_n \in (I)[/mm]
>
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> Ich habe das Gefühl, etwas vergessen zu haben :)
Der Rest war O.K.
FRED
>
>
> Lg
> Nadia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen dank!!!
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