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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bin mir gerade nicht so sicher, ob folgendes stimmt:
Nun, das haengt ganz von dem topologischen Raum ab, also welche Mengen als offen deklariert wurden  Ich denke mal, du meinst [mm] $\IR$ [/mm] mit der normalen Topologie (die durch [mm] $|\cdot|$ [/mm] induzierte), oder?
> Jede endliche Menge ist abgeschlossen!?
Genau. Die Menge [mm] $\{ x \}$ [/mm] ist abgeschlossen, da ihr Komplement offen ist. Und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind wieder abgeschlossen.
(Dies folgt daraus, dass endliche Durchschnitte offener Mengen offen sind, und die abgeschlossenen Mengen gerade die Komplemente offener Mengen sind.)
> Die unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist nicht
> abgeschlossen!?
Das stimmt nicht immer, aber im allgemeinen schon. Ein Beispiel: Waehle [mm] $A_n [/mm] := [mm] [\frac{1}{n}, [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{n}]$. [/mm] Dies ist offensichtlich fuer jedes $n > 1$ abgeschlossen. Nun ist [mm] $\bigcup_{n=2}^\infty A_n [/mm] = [mm] \left]0, 1\right[$, [/mm] also offensichtlich nicht abgeschlossen.
HTH & LG, Felix
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