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*edit* Die Frage habe ich auch hier gestellt: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=37031
Hallo,
ich habe leider immer noch ein paar Probleme mit der Unterscheidung, ob eine Menge offen oder geschlossen ist.
Vielleicht könnte mir das einer mal anhand eines Beispiels erklären:
{(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : x>0, [mm] x^2 \ge y^2+1 [/mm] }
Nach Definition haben wir gesagt eine Menge ist genau dann offen wenn die Menge gleich ihrem Inneren entpricht und sie ist genau dann abgeschlossen wenn sie ihrer abgeschlossenen Hülle entspricht.
Müsste ich dazu nun das innere bzw. die abgschl. Hülle der Menge bestimmen? Nur wie mach ich das?
Gruß
MM
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo MM,
ich kenne die Definition von abgeschlossen und offen so. Die Menge $X$ ist offen, wenn für alle [mm] $x\in [/mm] X$ ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] existiert, sodass für alle [mm] $y\in U_{\varepsilon}(x)$ [/mm] auch [mm] $y\in [/mm] X$ gilt. Also wenn es zu jedem Punkt eine ganze Umgebung in der Menge gibt. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Man beachte: es gibt Mengen die weder offen noch abgeschlossen sind zB $[0;1)$. Ist eine Mengen sowohl offen wie auch abgeschlossen handelt es sich entweder [mm] um$\{\}$ [/mm] oder um$ [mm] \IR$.
[/mm]
In deinem Fall ist die Menge abgeschlossen. Der Rand deiner Menge wird ja durch die Funktion [mm] $y(x)=\sqrt{x^2-1}$ [/mm] beschrieben. Damit kann man zu jedem Punkt mit der Normalen an die Kurve den Punkt mit minimalen Abstand $d$ an den Rand bestimmen. Wählt man dann [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}d$, [/mm] liegen damit alle Punkte aus der Kreisscheibe im Komplement.
Gruß Max
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Hi Max,
erstmal Danke für deine Antwort. Einiges davon wurde mir schon auf dem Matheplaneten beibebracht. Jedoch enthält deine Antwort durchaus sehr nützliche Informationen für mich, so daß deine Mühen keineswegs umsonst waren ;)
Vielen Dank und Gruß
MM
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