Abhängigkeit e^at < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mo 10.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: [mm] e^{\alpha_1*t},...,e^{\alpha_n*t} [/mm] sind linear unabhänig.
[mm] \alpha_1,... \alpha_n \in \IR [/mm] sind verschiedene reelle Zahlen.
V ist der Vektorraum der stetigen Funktionen. |
Hallo,
ich habe keinen blassen Schimmer wie ich die lineare Unabhänigkeit von unterschiedlichen e-Funktionen zeigen kann.
Von welcher Größe sollen die denn abhänig sein?? Wenn man von Abhängigkeit überhaupt sprechen kann, dann doch nur bei [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_2. [/mm] Besser wäre in dem Fall von zwei identischen Funktionen zu sprechen??
Worauf läuft die Aufgabe eigentlich hinaus???
Bin über jeden Tipp sehr froh.
Beste Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Mo 10.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Didi.
Hast du es mal mit der Wronski-Determinante versucht?
Seien [mm] $f_1,...,f_n:I\to\IR$ [/mm] $n-1$-fach differenzierbare Funktionen. Nehmen wir an, es gebe [mm] $\lambda_1,...,\lambda_n\in\IR$, [/mm] die nicht alle $0$ sind, mit [mm] $\lambda_1 f_1+...+\lambda_n f_n=0$. [/mm] Dann ist auch [mm] $\lambda_1 f^{(i)}+...+\lambda_n f_n^{(i)}=0$ [/mm] für $i=0,1,...,n-1$ (dabei bezeichne [mm] $f_k^{(i)}$ [/mm] die $i$-te Ableitung von [mm] $f_k$). [/mm] Folglich sind für alle [mm] $t\in [/mm] I$ die Vektoren [mm] $\vektor{f_1(t)\\ f_1'(t)\\ f_1''(t)\\\vdots\\ f_1^{(n-1)}(t)},...,\vektor{f_n(t)\\f_n'(t)\\f_n''(t)\\\vdots\\f_n^{(n-1)}(t)}$ [/mm] linear abhängig und ist [mm] $\det\pmat{f_1(t) & \cdots & f_n(t)\\\vdots & & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(t) & \cdots & f_n^{(n-1)}(t)}=0$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] I$. (Man nennt diese Determinante die Wronski-Determinante)
Wenn du also (Umkehrschluss) ein $t$ findest, sodass diese Determinante von $0$ verschieden ist, können die dir gegebenen Funktion nicht linear abhängig sein.
Versuchs mal. Für ein günstiges $t$ solltest du die sog. Vandermonde-Matrix erhalten.
Vielleicht geht es auch viel einfacher und elementarer, aber es ist sicher nicht verkehrt, das obige Verfahren zu kennen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mo 10.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für deine hilfreichen Tipp.
Ich werde es mal mit der WRONSKI Determinante versuchen.
Beste Grüße
didi_160
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 11.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo Hanno,
Ich knobele immer noch an der Aufgabe. Ich muß dich noch etwas fragen.
> Seien [mm]f_1,...,f_n:I\to\IR[/mm] ......alle [mm]t\in I[/mm] die
> Vektoren ......
Die Schreibweis e verstehe ich nicht. t ist doch die unhabhängige Größe in den Funktionen. Auf meine Aufgabe übertragen heißt das, ich muß die
e-Funktion nach t ableiten.
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> und es ist [mm]\det\pmat{f_1(t) & \cdots & f_n(t)\\\vdots & & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(t) & \cdots & f_n^{(n-1)}(t)}=0[/mm]
> für alle [mm]t\in I[/mm].
Schon wieder der Ausdruck für alle [mm]t\in I[/mm]
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Weiter schreibst du:
> Wenn du also (Umkehrschluss) ein [mm]t[/mm] findest, sodass diese
> Determinante von [mm]0[/mm] verschieden ist, können die dir
> gegebenen Funktion nicht linear abhängig sein.
Wieder das t !!! (ich deute t als die Differentationsvariable)
> Versuchs mal. Für ein günstiges [mm]t[/mm] solltest du die sog.
> Vandermonde-Matrix erhalten.
Wie soll ich denn das t erhalten???
Sei so nett und erkläre mir das bitte ausführlich und schreibe doch bitte mal die Matrix auf.
Beste Dank und viele Grüße im Voraus,
didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Didi.
$t$ ist in meinem vorigen Posting stets Argument für die Funktionen [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] Ich meine also: egal welches $t$ (aus dem Definitionsbereich der Funktionen) ich wähle, ist stets [mm] $\det\pmat{f_1(t) & \cdots & f_n(t)\\\vdots &&\vdots\\ f_1^{(n-1)}(t) & \cdots & f_n^{(n-1)}(t)}=0$. [/mm] Bedenke dabei, dass es Funktionswerte innerhalb der Matrix sind, nicht die Funktionen selbst.
Wenn es also nur ein einziges $t$/Argument gibt, sodass die obige Determinante von Null verschieden ist, so können die Funktionen [mm] $f_1,...,f_n$ [/mm] nicht linear abhängig sein.
In deinem Falle hast du [mm] $f_i(t)=e^{\alpha_i t}$, [/mm] also [mm] $f_i^{(k)}(t)=\alpha_i^k e^{\alpha_i t}$. [/mm] Die Vandermonde Matrix für ein festes $t$ ist also [mm] $\pmat{e^{\alpha_1 t} & \cdots & e^{\alpha_n t}\\ \vdots &&\vdots\\ \alpha_1^{n-1} e^{\alpha_1 t} & \cdots & \alpha_n^{n-1} e^{\alpha_n t}}$. [/mm]
Du musst nun versuchen, ein $t$ zu finden, sodass die Determinante dieser Matrix von Null verschieden wird. Versuch' es mal mit $t=0$.
Liebe Grüße,
Hanno
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