Abi-Aufgabe für Arthur und andere (Exponentialfunktion und vollst. Induktion) < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 21:26 Do 01.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Gegeben ist eine Funktion [mm]f[/mm] durch
[mm]y=f(x)=\frac{3-x^2}{2\cdot e^x}[/mm] [mm](x \in \mathbb{R})[/mm].
a) Untersuchen Sie die Funktion [mm]f[/mm] auf Nullstellen und den Graphen von [mm]f[/mm] auf lokale Extrempunkte!
Geben Sie den Wertebereich der Funktion [mm]f[/mm] an!
Skizzieren Sie den Graphen von [mm]f[/mm] im Intervall [mm]-2\le x \le 4[/mm] !
b) Für welche Funktionswerte [mm]c[/mm] [mm](c \in \IR)[/mm] existiert genau ein [mm]x[/mm] [mm](x \in \IR)[/mm], so dass gilt:
[mm]f(x)=c = \frac{3-x^2}{2 \cdot e^x}[/mm] ?
Bestimmen Sie diese Zahlen aus der Eigenschaften der Funktion [mm]f[/mm] !
c) Der Graph von [mm]f[/mm] schneidet die [mm]x[/mm]-Achse im Punkt [mm]S_0(x_0;y_0)[/mm], [mm]x_0>0[/mm].
Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden [mm]g[/mm], die durch [mm]S_0[/mm] geht und senkrecht auf der Tangente an den Graphen von [mm]f[/mm] in [mm]S_0[/mm] steht!
Welchen Schnittwinkel bildet die Gerade [mm]g[/mm] mit der [mm]x[/mm]-Achse?
d) Weisen Sie nach, dass [mm]F(x) = \left(\frac{x^2}{2} +x - \frac{1}{2} \right) \cdot e^{-x}[/mm], [mm]x \in \IR[/mm], eine Stammfunktion von [mm]f[/mm] ist!
Gegeben ist die Funktion [mm]h[/mm] durch [mm]h(x)=e^{-x}[/mm], [mm]x \in \IR[/mm].
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen [mm]f[/mm] und [mm]h[/mm] vollständig begrenzt wird!
Gegeben sind nun Funktionen
[mm]y=g_{a;b}(x) =\frac{a-x^2}{b\cdot e^x}[/mm] [mm](a,b,x\in \IR;\, b \ne 0)[/mm].
e) Der Punkt [mm]E(-2;e^2)[/mm] ist ein lokaler Extrempunkt des Graphen einer Funktion [mm]g_{a;b}[/mm].
Berechnen Sie für diesen Fall die Werte der Parameter [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] !
f) Weisen Sie nach, dass für die [mm]n[/mm]-te Ableitung der Funktion [mm]g_{a;b}[/mm] gilt:
[mm]y^{(n)} = g_{a;b}^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} \frac{(x-n)^2-n-a}{b \cdot e^x}[/mm] [mm](n \in \IN,\, n \ge 1)[/mm].
Viel Spaß!
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Hallo Stefan!
So, ich habe nun versucht deine Aufgaben zu lösen. Ist es okay, wenn ich nur kurz die Lösungswege beschreibe und dann die Lösungen angebe? Wenn es falsch ist, kann ich ja den vollständigen Lösungsweg hinschreiben...
zu a)
Nullstellen:
x= 3^(1/2)
x= - (3^(1/2))
Extrema:
f'(x)= [mm] (x^2 [/mm] -2x [mm] -3)/(2e^x)
[/mm]
f''(x)= [mm] (-x^4 [/mm] +4x [mm] +1)/(2e^x)
[/mm]
HOP (4/ -0,15)
TIP (-1 / e)
W= e; -unendlich
zu b)
Tja,also ich weiß leider nicht was ich damit machen soll...
ist c = W (Wertemenge von a))?
oder muss man nach x auflösen in abhöngigkeit von c?
Kleinen Tipp bitte!
zu c)
Geradengleichung lautet:
y= m*x +c
m= (e^(3^(1/2))/(3^(1/2))
c= - e^(3^(1/2))
Winkel wird über rechtwinliges Dreieck mit Kosinussatz und vorher Pythagoras ausgerechnet: ß= 73°
zu d)
Nachweise über: F'(x)=f(x)
reicht das, oder muss ich die Stammfunktion selber herleiten? Das kann ich, glaube ich nicht nicht...
Flächeininhaltsbestimmung:
F(x) ist gegeben
H(x) = -e^(-x)
Schnittstellen der Graphen f und h liegen bei 1 und -1 vor. Das sind dann die Grenzen.
A= ( F(1)-F(-1) ) - ( H(1) - H(-1) )
für F(1) - F(-1) ergibt sich [mm] (1+e^2)/(e)
[/mm]
für H(1) - H(-1) ergibt sich [mm] (-1+e^2)/(e)
[/mm]
Demnach ergibt sich für A: A=2/e
zu e)
g'(x) = [mm] (x^2-2x-a)/(b*e^x)
[/mm]
Parameter:
a=0
b= - [mm] 4/(e^4)
[/mm]
zu f)
Beweis über vollständige induktion.
Ich habe versucht den Schluss auf n+1 zu machen, aber ich komme noch nicht damit zurecht. Muss nochmal drüber nachdenken...
Das ist es erstmal...
viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Di 06.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe dancingestrella!
> So, ich habe nun versucht deine Aufgaben zu lösen.
Das freut mich.
> Ist es
> okay, wenn ich nur kurz die Lösungswege beschreibe und dann
> die Lösungen angebe? Wenn es falsch ist, kann ich ja den
> vollständigen Lösungsweg hinschreiben...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu a)
> Nullstellen:
> x= 3^(1/2)
> x= - (3^(1/2))
> Extrema:
> f'(x)= [mm] (x^2 [/mm] -2x [mm] -3)/(2e^x)
[/mm]
> f''(x)= [mm] (-x^4 [/mm] +4x [mm] +1)/(2e^x)
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> HOP (4/ -0,15)
> TIP (-1 / e)
> W= e; -unendlich
Schreibweise!
Richtig: [mm]W = (-\infty,e][/mm].
>
> zu b)
> Tja,also ich weiß leider nicht was ich damit machen
> soll...
> ist c = W (Wertemenge von a))?
Nein.
> oder muss man nach x auflösen in abhöngigkeit von c?
> Kleinen Tipp bitte!
Gefragt wird, welche Werte in der Wertemenge genau einmal angenommen werden. Manche Punkte der Wertemenge werden mehr als einmal angenommen, manche Punkte genau einmal. Das hängt mit der Lage der lokalen Extremwerte zusammen. Versuche dir mal anschaulich vorzustellen, wie der Graph aussieht. Oder skizziere ihn doch einfach mal! Von wo bis wo werden die Werte mehr als einmal angenommen? Wo werden sie nur einmal angenommen?
Vergiss den Hochpunkt nicht in dieser Betrachtung, denn der wird natürlich auch nur genau einmal angenommen!
> zu c)
> Geradengleichung lautet:
> y= m*x +c
> m= (e^(3^(1/2))/(3^(1/2))
Hier geht es bereits um die Normale, richtig? Sollte man vielleicht dazu schreiben... 
> c= - e^(3^(1/2))
> Winkel wird über rechtwinliges Dreieck mit Kosinussatz und
> vorher Pythagoras ausgerechnet: ß= 73°
Einfacher geht es so, finde ich: Rechne den Winkel einfach über die Winkelfunktionen aus (Tangens).
> zu d)
> Nachweise über: F'(x)=f(x)
> reicht das,
Ja, das reicht.
> oder muss ich die Stammfunktion selber
> herleiten? Das kann ich, glaube ich nicht nicht...
> Flächeininhaltsbestimmung:
> F(x) ist gegeben
> H(x) = -e^(-x)
> Schnittstellen der Graphen f und h liegen bei 1 und -1
> vor. Das sind dann die Grenzen.
> A= ( F(1)-F(-1) ) - ( H(1) - H(-1) )
> für F(1) - F(-1) ergibt sich [mm] (1+e^2)/(e)
[/mm]
> für H(1) - H(-1) ergibt sich [mm] (-1+e^2)/(e)
[/mm]
> Demnach ergibt sich für A: A=2/e
Super! 
> zu e)
> g'(x) = [mm] (x^2-2x-a)/(b*e^x)
[/mm]
> Parameter:
> a=0
> b= - [mm] 4/(e^4)
[/mm]
Gib mal bitte die komplette Rechnung an, damit wir deinen Fehler gemeinsam finden.
zu f)
> Beweis über vollständige induktion.
> Ich habe versucht den Schluss auf n+1 zu machen, aber ich
> komme noch nicht damit zurecht. Muss nochmal drüber
> nachdenken...
Okay, ich warte.
> Das ist es erstmal...
Das war Spitze!
Melde dich mal mit den fehlenden Teilaufgaben und den paar kleinen Verbesserungen wieder...
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
So, ich habe jetzt weiter gerechnet...
a) Bei der Kurvendiskussion habe ich ein paar Zahlen falsch eingetippt:
die zweite Ableitung lautet natürlich:
f''(x)= (4x - [mm] x^2 [/mm] + [mm] 1)/(2e^x)
[/mm]
Der Tiefpunkt liegt bei TIP (3 / [mm] (-3/(e^3)) [/mm] )
Der Hochpunkt liegt bei HOP (-1 / e)
b) Jetzt wo, du die Frage vollständig in Worten formuliert hast, kann ich sie beantworten. Ich habe festgestellt, dass man ziemlich genau lesen muss, denn ich habe "genau ein x" - also das ausschlaggebende - mehr oder weniger überlesen bzw. dieses "genau" ist mir nicht ins Auge gesprungen.
gut, die Antwort lautet:
c = e oder c < [mm] (-3/(e^3))
[/mm]
e)
(1) die Nullstellen der 1. Ableitung lauten:
x1= 1 + [mm] (a+1)^0,5
[/mm]
x2= 1 - [mm] (a+1)^0,5
[/mm]
----> ich sehe meinen Fehler! ich habe die Nullstellen gleich 2 und nicht gleich - 2 gesetzt
(2) die Nullstellen gleich -2 setzen
Man erhält für beide Nullstellen wegen dem quadrieren a = 8
(3) es ist g(-2) = [mm] e^2
[/mm]
also muss in die Ausgangsgleichung das a eingesetzt werden, so auch der x-Wert (-2), gleichgesetzt wie oben erhält man dann das b.
Wenn ich mich nicht vertan hab, müsste b = 4 das Ergebnis sein.
f) - vollständige Induktion
Induktionsanfang habe ich natürlich auch gemacht, Behauptung ist für n=1 okay!
Induktionsschritt:
Die Behauptung sei für n wahr.
Schluss auf n+1.
Ich habe mir nun alle n durch n+1 ersetzt und versucht das ganze so umzuformen, dass ich wieder auf die Behauptung komme.
meine erste Zeile lautet:
(-1)^(n+2) * [mm] ((x-(n+1))^2 [/mm] - (n+1) - a) / [mm] (b*e^x)
[/mm]
umgeformt, erhalte ich am Schluss:
(-1)^(n+1) * [mm] (-(x-n)^2 [/mm] + 2x - n + a) / [mm] (b*e^x)
[/mm]
wie du siehst ist das nicht, was die Behauptung sagt.
Ich weiß nicht wo mein Fehler liegt und mein Problem war dabei auch, dass ich nicht wusste, ob ich dieses g^(n+1) (x) vor dem "=" vernachlässigen kann, denn dann würde in der letzten Zeile (vorausgesetzt es hätte geklappt), die Behauptung von der (n+1). Ableitung stehen, und nicht die von der n. Verstehst du was ich meine?
Viele Grüße,
dancing estrella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Fr 09.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe dancingestrella!
Die Teilaufgaben a) bis e) sind jetzt richtig gelöst. Super!
Teilaufgabe f) schaue ich mir gleich noch einmal an.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Fr 09.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Dancingestrella!
> f) - vollständige Induktion
> Induktionsanfang habe ich natürlich auch gemacht,
> Behauptung ist für n=1 okay!
> Induktionsschritt:
> Die Behauptung sei für n wahr.
> Schluss auf n+1.
>
> Ich habe mir nun alle n durch n+1 ersetzt und versucht das
> ganze so umzuformen, dass ich wieder auf die Behauptung
> komme.
>
> meine erste Zeile lautet:
>
> (-1)^(n+2) * [mm] ((x-(n+1))^2 [/mm] - (n+1) - a) / [mm] (b*e^x)
[/mm]
>
> umgeformt, erhalte ich am Schluss:
>
> (-1)^(n+1) * [mm] (-(x-n)^2 [/mm] + 2x - n + a) / [mm] (b*e^x)
[/mm]
>
> wie du siehst ist das nicht, was die Behauptung sagt.
Mir ist dein ganzes Vorgehen hier völlig unklar.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt doch:
(*) [mm]g^{(n)}_{a;b}(x) = (-1)^{n+1} \frac{(x-n)^2 - n - a}{b\cdot e^x}[/mm].
Zu zeigen ist, dass daraus
(**) [mm]g^{(n+1)}_{a;b}(x) = (-1)^{(n+1)+1} \frac{(x-(n+1))^2 - (n+1) - a}{b\cdot e^x}[/mm]
folgt.
Nun gilt aber:
[mm]g^{(n+1)}_{a;b}(x) = \left(g^{(n)}_{a;b}\right)'(x).[/mm].
Was du also machen musst, ist das Folgende:
Die Funktion [mm]g^{(n)}_{a;b}[/mm], gegeben durch (*), ableiten und dann durch Umformungen auf die rechte Seite von (**) kommen.
1) Ist dir klar, warum du so vorgehen musst?
2) Wenn nein, frage bitte nach.
3) Wenn ja, versuche das bitte zu zeigen.
4) Wenn du das nicht hinbekommst, teile mir das mit, dann rechne ich es dir anschließend vor.
Melde dich bitte wieder.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
Na klar, dein Lösungsansatz ist einfach nur logisch, ich konnte es auch so umformen, dass ich wieder auf die Induktionsvoraussetzung gekommen bin.
Vielen Dank für alles!
dancingestrella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Fr 09.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe dancingestrella!
Okay, das freut mich. Super!
Kein Problem, ich habe gerne geholfen. Schön, dass du die Aufgabe bearbeitet hast.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Di 06.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ihr Mathematiker,
ich habe noch eine Frage an den Aufgabensteller, oder wer auch immer mir eine Antwort geben kann!
> Gegeben ist eine Funktion [mm]f[/mm] durch
>
>
> [mm]y=f(x)=\frac{3-x^2}{2\cdot e^x}[/mm] [mm](x \in \mathbb{R})[/mm].
>
> a) Untersuchen Sie die Funktion [mm]f[/mm] auf Nullstellen und den
> Graphen von [mm]f[/mm] auf lokale Extrempunkte!
>
> Geben Sie den Wertebereich der Funktion [mm]f[/mm] an!
>
Ist hier wirklich der Wertebereich gesucht, nicht etwa eher das Bild von [mm]f[/mm].
Wenn ich nämlich die Definitionen für diese Begriffe nachlese, so kann ich in etwa folgendes zitieren:
1. Definition: Eine ABBILDUNG [mm]f[/mm] von der Menge [mm]M[/mm] in eine Menge [mm]N[/mm], in Zeichen [mm]f : M \to N [/mm], ist eine Vorschrift,die jedem [mm]x \in M[/mm] genau ein [mm]y = f(x) \in N[/mm] zuordnet. [mm]f(x)[/mm] heisst BILD von [mm]x[/mm] unter [mm]f[/mm], wir schreiben auch
[mm]x \to f(x)[/mm]
[mm]M[/mm] heisst DEFINITIONSBEREICH von [mm]f[/mm] und [mm]N[/mm] heisst WERTEBEREICH von [mm]f[/mm].
und weiter:
2. Definition: Sei [mm]f : M \to N[/mm] eine Abbildung und [mm] A \subseteq M[/mm]. Dann heisst
[mm]f(A) := \left\{f(x);x \in A\right\} = \left\{x \in N;[/mm]es existiert ein [mm]x \in A[/mm] mit [mm]y = f(x) \} \subseteq N[/mm]
das BILD von [mm]A[/mm] unter [mm]f[/mm].
Wir nennen [mm]f(M)[/mm] das BILD von [mm]f[/mm].
(Anmerkung: ich habe kein Zeichen für 'es existiert' gefunden. Gibts irgendwo eine vollständige Liste? Bei wikipedia habe ich schon nachgesehen)
Müsste bei strickter Haltung an die Definitionen als korrekte Antwort nicht eher [mm]\IR[/mm] als gültige Antwort angesehen werden?
Oder haben sich die Definitionen seit meiner Studienzeit verändert,
oder gilt jetzt auch in der Mathematik, dass man sich nicht unbedingt an die Definitionen halten muss, solange man annehmen darf, dass man trotzdem verstanden wird?
Oder habe ich einfach die oben zitierten Definitionen falsch verstanden?
Mit freundlichen Grüssen und bestem Dank für eine Reaktion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Di 06.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paulus!
> ich habe noch eine Frage an den Aufgabensteller, oder wer
> auch immer mir eine Antwort geben kann!
>
> > Gegeben ist eine Funktion [mm]f[/mm] durch
> >
> >
> > [mm]y=f(x)=\frac{3-x^2}{2\cdot e^x}[/mm] [mm](x \in \mathbb{R})[/mm].
> >
>
> > a) Untersuchen Sie die Funktion [mm]f[/mm] auf Nullstellen und den
>
> > Graphen von [mm]f[/mm] auf lokale Extrempunkte!
> >
> > Geben Sie den Wertebereich der Funktion [mm]f[/mm] an!
> >
>
> Ist hier wirklich der Wertebereich gesucht, nicht etwa eher
> das Bild von [mm]f[/mm].
Du hast vollkommen Recht:
Bei [mm]f : M \to N [/mm]
heißt
$M$: Definitionsbereich/-menge
$N$: Wertebereich
$f(M)$: Wertemenge=Bild von [mm] f=$\Bild(f)$
[/mm]
Allerdings ist die Untersuchung des Wertebereichs nicht sonderlich interessant (in der Schule ist er wohl fast immer [mm] $\IR$) [/mm] und wird deswegen häufig mit der Wertemenge gleichgesetzt. Jedenfalls ergibt sich aus der Aufgabenstellung, dass nur die Frage nach der Wertemenge/Bild f sinnvoll ist, so dass man es mit den Definitionen nicht so genau nehmen muß.
Ich wette sogar, es gibt Autoren/Bücher/Literatur, bei denen es genau umgekehrt definiert ist, oder es noch anders heißt, also im Zweifel immer die aktuelle gültige Definition heranziehen.
> (Anmerkung: ich habe kein Zeichen für 'es existiert'
> gefunden. Gibts irgendwo eine vollständige Liste? Bei
> wikipedia habe ich schon nachgesehen)
Stimmt... es lautet [mm] \exists [/mm] bzw. [mm] \mbox{\backslash exists}.
[/mm]
Von vollständigen Listen und Dokumentation über LaTeX dürfte es im Web nur so wimmeln -- such' doch mal in Google nach "latex"
> Müsste bei strickter Haltung an die Definitionen als
> korrekte Antwort nicht eher [mm]\IR[/mm] als gültige Antwort
> angesehen werden?
Ja, s.o., aber diese Antwort stimmt in der Schule immer, unabhängig von der Aufgabenstellung.
> Oder haben sich die Definitionen seit meiner Studienzeit
> verändert,
> oder gilt jetzt auch in der Mathematik, dass man sich nicht
> unbedingt an die Definitionen halten muss, solange man
> annehmen darf, dass man trotzdem verstanden wird?
Nein, das ist nur eine sprachliche Nachlässigkeit.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Di 06.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Marc,
vielen Dank für die prompte und kompetente Antwort! Jetzt kann ich wieder ruhig schlafen
... und mit dem Repetieren der Mathematik frohen Mutes weiterfahren.
Herzliche Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Marc und Paulus,
für viele Begriffe gibt es unterschiedliche Definitionen.
Typisches Beispiel: "Wendepunkt".
In einigen Fällen aber gibt uns die DIN-Norm einen Hinweis, wobei diese wohl gemerkt weder für Uni noch für Schule "verbindlich" ist. Ich bin dennoch der Meinung, dass man in Zweifelsfällen die DIN-Norm zu Rate ziehen sollte!
Nun also: In der mir vorliegenden Fassung (ISBN 3-410-12954-5) finde ich:
DIN 5473, 7.3:
W(f) | Wertebereich von f | [mm] \{ y | \exists x (x [i] f [/i] y)} [/mm] | (...)
Ach ja: Den Begriff "Wertemenge" finde ich darin gar nicht!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 16.04.2004 | | Autor: | flo |
Hallo! :)
Ich habe leider - trotz Diskussion - immer noch nicht verstanden, was ich machen muss, um den Wertebereich der Funktion zu errechnen.. :(
Würde mich sehr über eine Antwort freuen..
Liebe Grüße,
flo :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Fr 16.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo flo!
> Ich habe leider - trotz Diskussion - immer noch nicht
> verstanden, was ich machen muss, um den Wertebereich der
> Funktion zu errechnen.. :(
Du hast Recht, das wird aus der bisherigen Diskussion auch nicht klar.
Für die Wertemenge benötigen wir das absolute Minimum und Maximum der Funktion, sofern sie existieren und nicht [mm] \pm\infty [/mm] sind.
dancingestrella hat ja nun schon die relativen Extrema angegeben:
> Der Tiefpunkt liegt bei TIP (3 / [mm] (-3/(e^3)) [/mm] )
> Der Hochpunkt liegt bei HOP (-1 / e)
Sehen wir uns jetzt das Verhalten der Funktion "im Unendlichen" an:
[mm]f(x)=\frac{3-x^2}{2\cdot e^x}[/mm]
Für [mm] x\to-\infty [/mm] geht der Zähler gegen [mm] -\infty, [/mm] der Nenner gegen $0$, also gilt: [mm] f(x)\to-\infty [/mm] für [mm] x\to-\infty
[/mm]
Für [mm] x\to+\infty [/mm] geht der Zähler gegen [mm] -\infty, [/mm] der Nenner gegen [mm] +\infty; [/mm] da aber die e-Funktion hier über die ganzrationale Zählerfunktion dominiert (das kann man leicht mit den  Regeln von l'Hospital nachprüfen) gilt: [mm] f(x)\to0 [/mm] für [mm] x\to+\infty
[/mm]
So kann man folgern, dass das absolute Maximum an der Stelle des relativen Maximums liegen muß, und es kein absolutes Minimum gibt, da $f$ nach unten nicht beschränkt ist.
Die Wertemenge ist also: [mm] \mathbb{W}=\rbrack-\infty;e\rbrack
[/mm]
> Würde mich sehr über eine Antwort freuen..
Ist es jetzt klarer geworden? Falls nicht, frage bitte nach!
Viele Grüße,
Marc
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> Gegeben ist eine Funktion [mm]f[/mm] durch
>
> [mm]y=f(x)=\frac{3-x^2}{2\cdot e^x}[/mm] [mm](x \in \mathbb{R})[/mm].
>
> b) Für welche Funktionswerte [mm]c[/mm] [mm](c \in \IR)[/mm] existiert genau
> ein [mm]x[/mm] [mm](x \in \IR)[/mm], so dass gilt:
>
> [mm]f(x)=c = \frac{3-x^2}{2 \cdot e^x}[/mm] ?
>
> Bestimmen Sie diese Zahlen aus der Eigenschaften der
> Funktion [mm]f[/mm] !
Hallo zusammen! Zur obigen Aufgabe stelle ich nun die Frage: wie errechne ich das? Ich habe mir zwar durchgelesen, was Stefan der dancingestella dazu geschrieben habe, aber noch nicht begriffen, wie das funktioniert. Ich bitte um eine Rechnung, wenn möglich. Danke!
Tanja
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Di 31.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> > Gegeben ist eine Funktion [mm]f[/mm] durch
> >
> > [mm]y=f(x)=\frac{3-x^2}{2\cdot e^x}[/mm] [mm](x \in \mathbb{R})[/mm].
> >
> > b) Für welche Funktionswerte [mm]c[/mm] [mm](c \in \IR)[/mm] existiert genau
> > ein [mm]x[/mm] [mm](x \in \IR)[/mm], so dass gilt:
> >
> > [mm]f(x)=c = \frac{3-x^2}{2 \cdot e^x}[/mm] ?
> >
> > Bestimmen Sie diese Zahlen aus der Eigenschaften der
> > Funktion [mm]f[/mm] !
>
> Hallo zusammen! Zur obigen Aufgabe stelle ich nun die
> Frage: wie errechne ich das? Ich habe mir zwar
> durchgelesen, was Stefan der dancingestella dazu
> geschrieben habe, aber noch nicht begriffen, wie das
> funktioniert. Ich bitte um eine Rechnung, wenn möglich.
> Danke!
>
> Tanja
Hallo Tanja,
am besten versuchen wir zuerst die Frage richtig zu verstehen.
Es werden also die Ergebnisse der Funktion $f(x)$ gesucht, die
nur ein einziges mal vorkommen. Um sich das Ganze zu
veranschaulichen, können wir den Graph einmal zeichen. In diese
Zeichnung machen wir jetzt noch unendlich viele Geraden, die
parallel zur x-Achse sind. Die Geraden, die die Kurve nur ein
einziges mal schneiden sind die gesuchten $c$'s.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Gleichung, die eindeutig gelöst werden soll, lautet:
[mm] $c=\frac{3-x^2}{2 e^x}$
[/mm]
Deswegen sollten wir zunächst das Grenzwert Verhalten für
$x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] untersuchen. Und erhalten:
Für $x [mm] \to -\infty; [/mm] c [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
und für $x [mm] \to \infty; [/mm] c [mm] \to [/mm] 0$.
Nun müssen wir auch noch die Extrempunkte ermitteln und
erhalten:
Der Tiefpunkt liegt bei $TP (3 [mm] /(-\frac{3}{e^3})$
[/mm]
Der Hochpunkt liegt bei $HP (-1 / e) $
Unter Beachtung des Grenzwertverhaltens bedeutet dies, dass
alle Funktionswerte zwischen den Extrema mehrfach vorkommen
müssen, aber auch nur diese. Also alle $ c [mm] \in ]-\frac{3}{e^3};e[$ [/mm] kommen
mehrfach vor. Alle anderen $c$'s kommen aber nur ein einziges mal
vor und wenn wir jetzt noch den Wertebereich $W$ betrachten für den
gilt $W=]- [mm] \infty; [/mm] e]$, dann kommen wir auf Dancingestrellas Ergebnis.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte
nach.
Liebe Grüße
Fugre
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Di 31.05.2005 | | Autor: | Tannihoney |
Hallo.
Vielen dank. Ich hatte den Graph schon gezeichnet usw. Einzig hab ich leider die x-Werte betrachtet, nicht f(x). war wohl zu übermüdet, um diese Schusseligkeit meinerseits zu bemerken.
Danke sehr nochmal. Tanja
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