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Forum "Differenzialrechnung" - Abiprüfung mündl.
Abiprüfung mündl. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Abiprüfung mündl.: hilfe bei differenialrechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Fr 09.06.2006
Autor: Gleb

Aufgabe
z.b.:

y´=x²*y

irgendwie muss doch hier auf ein c kommen?
auch durch dx/dy?

Hallo Leute,

bitte helft mir, zum Abschluss der 13 klasse haben wir noch differentialrechnung (methode trennung der Veränderlichen) als auswahlthema gemacht.
Nun steht die Abiprüfung vor der tür und das thema verstehe ich wirklich 0. Weiß nur,  dass es eine allg. spezielle und singuläre Lsg gibt.
könnt ihr mir bitte erklären, wie ich auf diese Lsg komme, ein weg dazu wäre auch nicht schlecht?! :(

P.S.: habe einen reader dazu, aber auch NULL zu verstehen!(scheint eine kopie aus einem lehrbuch zu sein.

EINEN HERZLICHEN DANK

Gleb

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abiprüfung mündl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Fr 09.06.2006
Autor: Walde

Hi Gleb,
meine letze DGL ist schon ne Weile her und ich muss gleich weg, also nur kurz(ich stelle die Frage auf teilweise beantw.,dann helfen dir noch andere):

Du suchst eine Fkt. y(x), die deine Differentialgleichung erfüllt. Trennung der Variablen ist hier genau das Richtige.Also alles mit y auf eine Seite und alles mit x auf die andere:

[mm] y'=x^2*y [/mm] |:y [mm] (y\not=0) [/mm]

[mm] \bruch{y'}{y}=x^2 [/mm]

jetzt auf beiden Seiten nach x integrieren, y hängt ja von x ab.y ist nur eine abkürzende Schreibweise für y(x)

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{y'(x)}{y(x)}dx}=\integral_{}^{}{x^2dx} [/mm]
[mm] \ln(y(x))=\bruch{1}{3}x^3 [/mm]
[mm] y(x)=e^{\bruch{1}{3}x^3} [/mm]

Das müsste eigentlich stimmen.

L G walde

Bezug
                
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Abiprüfung mündl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Fr 09.06.2006
Autor: Gleb

Aufgabe
interessant, scheint in diesem falle einfach zu sein, bloss wie komme ich nun auf das C;

habe noch im Heft rumgesucht, da ist die rede von:
C1
C2
C3


Danke für die Antworten

Bezug
                        
Bezug
Abiprüfung mündl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Fr 09.06.2006
Autor: leduart

Hallo  Gleb
Walde hat die Konstanten wirklich vergessen. Die allgemeine Stammfunktion von [mm] x^{2} [/mm] ist ja nicht nur [mm] 1/3x^{3} [/mm] sondern [mm] 1/3x^{3}+C1 [/mm]
ebenso ist die Stammfkt von y'/y nicht einach lny sondern lny+C2
Die 2 Konstanten kannst du auf eine Seite der Gleichunng bringen und eine draus machen C=C1-C2

Dann ist deine allgemeine Lösung [mm] y=e^{1/3*x^{3}+C}=A*e^{1/3*x^{3}} [/mm]
mit [mm] e^{C}=A [/mm]
Ists soweit klar?
Wenn man y an einer Stelle Kennt, meist y(0) wird dadurch C festgelegt.
y(0) heisst Anfangswert. z. Bsp y(0)=3 folgt C=3 durch einsetzen.
[mm] y=3*e^{1/3*x^{3}} [/mm] ist dann die Lösung der Dgl zum Anfangswert 3
Von allgemeinerLösung spricht man immer, wenn man keinen Anfangswert festgelegt hat.
Der Ausdruck spezielle Lösung kommt eigentlich nur bei linearen Dgl. vor, wo es die allgemeine Lösg. der homogenen und eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung gibt.
Gruss leduart





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Abiprüfung mündl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:53 Fr 09.06.2006
Autor: Gleb

Aufgabe
Klingt vielleicht etwas unüberlegt, aber wie erkenne ich den y-wert, der das C festlegt, bzw woher kenne ich den?


Danke

Gleb

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Bezug
Abiprüfung mündl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Sa 10.06.2006
Autor: leduart

Hallo
Der Anfangswert wird mit der Dgl. vorgegeben. Die Dgl beschreibt ja irgend was in Wirklichkeit, oft einen zeitlichen Verlauf (x ist die Zeit) Dann muss man wissen ,was jetzt ist, um die Zukunft vorherzusagen.
Gruss leduart

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Abiprüfung mündl.: fehlend!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 Fr 09.06.2006
Autor: Gleb

ah, jetzt verstehe ich mehr der weniger woher das c kommt,
es kommt von der stammfkt: aslo muss es nich

[mm] e^{ \bruch{1}{3}} [/mm]

sondern

[mm] e^{ \bruch{1}{3}} [/mm] + C

heissen!

Dieses müsste nun umgefoprmt werden:
[mm] C1*e^{ \bruch{1}{3}} [/mm]  C1>0

weitere mgl.:
[mm] -C2*e^{ \bruch{1}{3}} [/mm]  C2<0



nun entgültig:

[mm] C3*e^{ \bruch{1}{3}} [/mm]   C3 [mm] \in\IR [/mm]

das ist nun die...Lsg?

jetzt muss nur noch festgelegt werden, welche lsg was ist; also singuläre, allgmeine, oder...Lsg







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