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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Do 15.12.2011 | | Autor: | Paivren |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie den Punkt des Funktionsgraphen von [mm] f(x)=-12\bruch{ln(x)}{x}, [/mm] in dem die Tangente an den Graphen von f eine Ursprungsgerade ist, und geben Sie die Gleichung dieser Tangente an. |
Hallo Leute,
hier mal eine kleine Aufgabe aus einem Blatt (Abiturprüfung 2009) zur Wiederholung vorheriger Themen, bei der ich ein wenig auf dem Schlauch stehe.
Ursprungsgerade meint durch den Nullpunkt gehend, also hat die gesuchte Tangente die Gleichung g(x)=mx, wobei m bestimmt sein will.
Nun darf die Tangente aber nicht nur einen Schnittpunkt haben, sondern jener Schnittpunkt muss auch genau am "Rand" der Kurve sein, damit sie die Steigung der Funktion an der Stelle angibg.
Aber wie mach ich das, irgendwelche Tipps x(?
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Hallo Paivren,
wie lautet denn die Geradengleichung einer Tangente in einem beliebigen Punkt des Funktionsgraphen? Wo ist dann die Tangente eine Ursprungsgerade?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 15.12.2011 | | Autor: | Paivren |
Hallo Reverend,
öhm g(x)=f'(x')x + n wobei x' die Stelle ist, an der man die Tangente anlegt, und man n mittels der Ableitung an dieser Stelle und jener Stelle selbst berechnen kann.
n ist für meine gesuchte Gerade aber null, doch woher weiß ich, für welche Stelle ich die Ableitung bilden muss ?_?
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Hallo Paivren,
> Hallo Reverend,
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> öhm g(x)=f'(x')x + n wobei x' die Stelle ist, an der
> man die Tangente anlegt, und man n mittels der Ableitung an
> dieser Stelle und jener Stelle selbst berechnen kann.
>
> n ist für meine gesuchte Gerade aber null, doch woher
> weiß ich, für welche Stelle ich die Ableitung bilden muss
> ?_?
Diese Stelle x' ist ja gerade gesucht.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Do 15.12.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Paivren,
> > öhm g(x)=f'(x')x + n wobei x' die Stelle ist, an der
> > man die Tangente anlegt, und man n mittels der Ableitung an
> > dieser Stelle und jener Stelle selbst berechnen kann.
> >
> > n ist für meine gesuchte Gerade aber null, doch woher
> > weiß ich, für welche Stelle ich die Ableitung bilden muss
> > ?_?
>
> Diese Stelle x' ist ja gerade gesucht.
Mit anderen Worten: etwas mehr musst Du schon zu n sagen können. Du sollst ja bestimmen, wo n=0 gilt.
Überleg mal, wie man n(x') berechnen kann.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Do 15.12.2011 | | Autor: | Paivren |
Ok.
Also n=g(x')-f'(x')x'
Aber was bringt mir das, wenn ich x' nicht habe?
Muss ich g(x')-f'(x')x' = 0 setzen? Kann es das sein :D?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Do 15.12.2011 | | Autor: | Paivren |
Hm, also ich denke, das muss es sein, würde Sinn ergeben x)
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Hallo nochmal,
> Also n=g(x')-f'(x')x'
Was ist denn g(x')?
Deine Geradengleichung muss an der Stelle x' ja den gleichen Funktionswert wie die Funktion f(x) haben!
> Aber was bringt mir das, wenn ich x' nicht habe?
> Muss ich g(x')-f'(x')x' = 0 setzen? Kann es das sein :D?
Ja, darum geht es. Aus n=0 sollst Du hier x' ermitteln.
Übrigens ist die Variablenbezeichnung nicht so richtig geschickt. [mm] \bar{x} [/mm] oder [mm] \hat{x} [/mm] wäre weniger verwirrend, aber solange Du mit der Benennung nicht durcheinanderkommst, ist das auch letztlich egal.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 15.12.2011 | | Autor: | Paivren |
g(x') ist der Funktionswert der Tangente an der Stelle, an der sie an f anliegt, also ja, das selbe wie f(x').
Ja ich weiß, ist unglücklich gewählt, nächstes mal nehm ich ein besseres Symbol^^
Das heißt, ich kann in g(x')-f'(x')x' = 0 statt des g(x') auch einfach f(x') benutzen, gell, müsste ja egal sein (wenns doch das selbe ist xD )?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Blech |
Richtig.
Nochmal, systematisch:
1. Gesucht ist x', für das
$g(x')=f(x')$
gilt.
2. f kennen wir, denn es ist gegeben.
3. Von g wissen wir, daß es eine Ursprungsgerade sein soll, d.h.
$g(x)=mx$,
mit der Eigenschaft, daß sie die gleiche Steigung hat wie f in x', d.h.
$m=f'(x').$
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Paivren |
Ok, alles klar, vielen Dank für die Hilfe, Leute :)
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