Abivorbereitung/Analysis < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe 2
Für jedes t > 0 ist eine Funktion ft gegeben durch ft(x) = 4etx - e2tx; x Î IR. Der Graph von ft sei Kt.
a) Untersuchen Sie Kt auf Schnittpunkte mit der x - Achse, auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie
auf Asymptoten. Zeichen Sie K0,5 für -5 £ x £ 3. (Längeneinheit 1 cm)
b) Es sei S der Schnittpunkt der Kurve Kt mit der y-Achse. Die Kurventangente in S, die
Kurvennormale in S und die x - Achse bilden ein Dreieck. Für welchen Wert von t wird der
Flächeninhalt dieses Dreiecks am kleinsten? Zeigen Sie, dass das Dreieck mit dem kleinsten Inhalt
gleichschenklig ist.
c )Die x - Achse und die Kurve Kt begrenzen eine längs der negativen x - Achse ins Unendliche
reichende Fläche. Zeigen Sie, dass die Gerade y = 3 diese Fläche in einem von t unabhängigen
Verhältnis teilt.
d) Zu jedem t > 0 ist eine Funktion gt gegeben durch ft(x).gt(x) = l ; x Î D(g). Bestimmen Sie den
maximalen Definitionsbereich D(g). Der Graph von gt sei Ct. Bestimmen Sie die Anzahl der
gemeinsamen Punkte von Kt und Ct. Es sei u eine für alle x Î IR differenzierbare Funktion mit
u(x) ungleich 0 für alle x Î IR. Die Funktion v ist für alle x Î IR definiert durch u(x).v(x) = 1. Zeigen
Sie, dass u'(x).v'(x) für alle x Î IR nicht positiv ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
die Kurvendiskussion bei a ist für mich kein Problem, aber schon bei b) krieg ich Probleme, Tangente und Normale kann ich zwar aufstellen, aber wie komm ich zu dem t mit dem kleinsten Flächeninhalt?wie geht das mit dem glichschenklig zeigen?
und bei c) habe ich gar keinen Ansatz! Ich hoffe ihr könnt mir helfen, weiß einfach nicht weiter bzw. nicht wie ich an die Sache ran gehen soll!
Vielen Dank!
Grüßle
Jessi
|
|
| |
|
> Aufgabe 2
> Für jedes t > 0 ist eine Funktion ft gegeben durch ft(x) =
> 4etx - e2tx; x Î IR. Der Graph von ft sei Kt.
> a) Untersuchen Sie Kt auf Schnittpunkte mit der x - Achse,
> auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie
> auf Asymptoten. Zeichen Sie K0,5 für -5 £ x £ 3.
> (Längeneinheit 1 cm)
> b) Es sei S der Schnittpunkt der Kurve Kt mit der y-Achse.
> Die Kurventangente in S, die
> Kurvennormale in S und die x - Achse bilden ein Dreieck.
> Für welchen Wert von t wird der
> Flächeninhalt dieses Dreiecks am kleinsten? Zeigen Sie,
> dass das Dreieck mit dem kleinsten Inhalt
> gleichschenklig ist.
> c )Die x - Achse und die Kurve Kt begrenzen eine längs der
> negativen x - Achse ins Unendliche
> reichende Fläche. Zeigen Sie, dass die Gerade y = 3 diese
> Fläche in einem von t unabhängigen
> Verhältnis teilt.
> d) Zu jedem t > 0 ist eine Funktion gt gegeben durch
> ft(x).gt(x) = l ; x Î D(g). Bestimmen Sie den
> maximalen Definitionsbereich D(g). Der Graph von gt sei
> Ct. Bestimmen Sie die Anzahl der
> gemeinsamen Punkte von Kt und Ct. Es sei u eine für alle x
> Î IR differenzierbare Funktion mit
> u(x) ungleich 0 für alle x Î IR. Die Funktion v ist für
> alle x Î IR definiert durch u(x).v(x) = 1. Zeigen
> Sie, dass u'(x).v'(x) für alle x Î IR nicht positiv ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo!
> die Kurvendiskussion bei a ist für mich kein Problem, aber
> schon bei b) krieg ich Probleme, Tangente und Normale kann
> ich zwar aufstellen, aber wie komm ich zu dem t mit dem
> kleinsten Flächeninhalt?wie geht das mit dem glichschenklig
> zeigen?
Noch eine BITTE:
Schreib nochmal richtig mit Formeln die Funktion auf, geh es um:
$ [mm] f_t(x)=4e^{tx}-e^{2tx} [/mm] $ ??
Tja, dazu habe ich bisher folgende Denkansätze:
Du kannst ja wie gesagt allgemein die Normale und die Tangente aufstellen, da du ja den Achsenschnittpunkt S auch allgemein bestimmen kannst, damit hast du die Steigung für die Tangente und dann auch mit dem Kehrwert die Steigung für die Normale. Dann brauchst du, da es ja um ein Dreieck geht, das von diesen zwei Geraden + der x-Achse begrenzt wird, die Schnittpunkte der Tangente und Normalen mit der x-Achse. Hast du diese zwei Nullstellen, dann ist dein Dreieck aus folgenden Punkten zusammengesetzt:
Dem Schnittpunkt der Tangente und der Normalen in S, dem Nullpunkt der Tangente, der wohl etwas weiter links liegen wird und dem Nullpunkt der Normalen, der weiter rechts auf der x-Achse liegen wird. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist ja 0,5*g*h. Was ist g? Nun, dafür nimmst du die Strecke auf der x-Achse, also die Strecke zwischen den zwei Eckpunkten, also zwischen den Nullstellen! Und die Höhe ist gerade die y-Koordinate von S, richtig? denn S ist ja die dritte Ecke, bzw die Spitze des Dreiecks, wenn das Dreieck mit seiner Grundseite auf der x-Achse liegt. Dann kannst du den Flächeninhalt allgemein aufstellen und ableiten als Zielfunktion.
> und bei c) habe ich gar keinen Ansatz! Ich hoffe ihr könnt
> mir helfen, weiß einfach nicht weiter bzw. nicht wie ich an
> die Sache ran gehen soll!
Finde die Aufgabe nach wie vor unglücklich formuliert, aber leduart hat es ja schon erklärt, demnach musst du einmal das Integral von [mm] -\infty [/mm] bis 0 berechnen, also besser gesagt von k bis 0 für k gegen [mm] -\infty [/mm] und andererseits die Fläche oberhalt der Geraden y=3 also das Integral von 0 bis Schnittpunkt von y=3 mit [mm] f_t(x). [/mm] Dann kannst du beide Flächen vergleichen
> Vielen Dank!
> Grüßle
> Jessi
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
S=(0,3) und damit die Hoehe des Dreiecks kennst du. bestimme jetzt die 2 Schnittpunkte mit der Achse, Tangente sollte nen neg, x1(t) liefern, Normale nen pos x2(t)
dann ist die flaeche (x2-x1)*3/2 also nur ne fkt von t, deren extremwert du bestimmen willst.
Ne Zeichnung zeigt dir wann ein Dreieck mit spitze auf der y-Achse gleichschenklig ist!
zu c. die Gerade schneidet ein Stueck der kurve rechts von 0 ab, Behauptung, das Flaechenstueck geteilt durch die Flaeche zw. 0 und [mm] -\infty [/mm] ist unabh. von t.
dazu solltest du die Kurve skizzieren und die Gerade einzeichnen.
ueberhaupt sollte man bei so Aufgaben mit ner Skizze anfangen, meist fuer t=1 und sich daran die einzelnen Schritte bzw. Aufgaben klar machen.
Gruss leduart
|
|
|
|
