Abkühlungsprozess e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 16.01.2015 | | Autor: | timmexD |
| Aufgabe | Eine Flüssigkeit wird auf 90° C erhitzt. Dann lässt man sie bei einer Umgebungstemperatur von 20° C abkühlen. Bei einem Experiment erhält man folgende Messreihe. (Siehe unten).
1. Stellen Sie die Messreihe in einem geeignetem Koordinatensystem dar und berechnen Sie eine geeignete Regressionskurve. Zeichnen Sie diese ebenso in das Koordinatensystem und vergleichen Sie.
2. In eine Tasse wird 90° C heißer Tee eingeschenkt. Der Tee kühlt auf die Temperatur 15° C ab. Der Abkühlungsprozess kann durch eine Funktion der Form h(t)=a+b [mm] e^{-0.2t} [/mm] beschrieben werden. Bestimmen Sie die Parameter a und b. |
Hallo,
die Messreihe ergab: Zeit in Minuten 0 /1 /2/3/ 4/ 5/ 6/ 7
Temperatur in °C 90/58/40/31/26/22/22/21
Mit Hilfe dieser Werte konnte ich eine geeignete Regressionskurve berechnen:
f(x)=68,68 * [mm] e^{-0.2x}. [/mm] Zeichen ist kein Problem.
Jedoch komme ich bei Aufgabe 2 keinen Schritt weiter.
Ich bin soweit gekommen:
90° [mm] C=a+be^{-0.2*0}\Rightarrow [/mm] a+b
Da ja der erste Punkt (0/90) ist.
15° [mm] C=a+be^{-0.2t} [/mm] Und da ist mein Problem. Wir haben ja nur den Funktionswert, der x-Wert fehlt. Deshalb geht das Gleichungssystem mit 2 Variablen nicht auf. Kann mir hier jemand helfen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Fr 16.01.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo timmexD,
bei der zweiten Aufgabe hast Du die erste Bedingung (90 Grad bei t = 0) bereits gut eingesetzt.
Für die zweite Bedingung musst Du Dir nur klar machen, dass die e-Funktion, wegen des negativen Exponenten, bei sehr großen Zeiten, und dazu gehört auch t = Unendlich, gegen 0 läuft. Der Tee wird aber nie kälter als 15 Grad.
Jetzt ist wohl der Groschen gefallen und Du weißt, wie groß demzufolge a ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 16.01.2015 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank für diese tolle Antwort.
Jetzt ist die Aufgabe ganz einfach. Ich muss am Montag eine Präsentation über diese Aufgabe halten, und habe diese Aufgabe schon vor ca. 3 Wochen gerechnet. Mir ist jetzt beim Überprüfen aufgefallen, dass ich bei Aufgabe 2 die Parameter a und b mit Hilfe der Messreise (was falsch ist) berechnet habe. Und bin jetzt voll nervös geworden.
Eine Frage noch. Passt meine Regressionsfunktion? Die habe ich mit dem Taschenrechner erstellt.
Vielen herzlichen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Fr 16.01.2015 | | Autor: | Infinit |
Gerne geschehen, mitunter muss man solche Aufgaben schon sehr genau lesen, aber auch das ist eine Übungssache und glaube mir, es wird besser von Aufgabe zu Aufgabe.
Zur Regressionsfunktion kann ich leider nichts sagen, da ich keinen entsprechenden Rechner hier zur Verfügung habe und eine Lösung auf dem Papier ist mir am Freitagabend doch etwas zu heftig.
Ich nehme aber mal an, dass Dir jemand aus dem Forum hier noch weiterhelfen kann mit weniger Aufwand als ich bräuchte.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:32 Sa 17.01.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
Zum 1. Teil ist ja schon gesagt worden, daß deine Funktion nicht wirklich gut ist und daß ein Ansatz wie unter 2. gewählt werden sollte: f(t) = a + [mm] b*e^{-\lambda*t}. [/mm] a und b findest du (hoffentlich) sofort, und für eine Bestimmungsgleichung für [mm] \lambda [/mm] setzt du einen Zwischenwert ein, z. B. f(2) = 40.
Gruß aus HH
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Fr 16.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich finde Deine Funktion merkwürdig. Es ist nicht die Funktion, die sinnvoll ist. Die Endtemperatur sollte bei 20° liegen. Es sollte also eine Funktion viel besser passen, die ähnlich wie die in b ist. Vielleicht habe ich morgen Abend Zeit, um die Anpassungen zu rechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:33 Sa 17.01.2015 | | Autor: | timmexD |
Kann mir jemand mit der Regressionskurve helfen?
Was ich mich frage, wieso in der Messreihe die Temperatur 20° C fehlt.
Ich habe diese Werte in meinen grafikfähigen Taschenrechner eingegeben und mit Hilfe des Stat-Menüs diese Exponentialfunktion bekommen:f(x)= 68,68 [mm] e^{-0.2x}
[/mm]
Aber die Regressionskurve müsste sich doch einer Temperatur von 20° C annähern, was sie hier nicht tut. Kann mir jemand helfen?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Sa 17.01.2015 | | Autor: | statler |
Die fehlt, weil sie ja nur asymptotisch erreicht wird! Eventuell ist dein TR zu dumm, dann versuch es mal händisch mit den Ansätzen, die wir dir gegeben haben.
Genau genommen, ist sie nicht mal die Asymptote, da der Tee seinerseits das Zimmer erwärmt. Aber das lassen wir lieber.
Gruß D
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> Die fehlt, weil sie ja nur asymptotisch erreicht wird!
> Genau genommen ist sie nicht mal die Asymptote, da der
> Tee seinerseits das Zimmer erwärmt.
Super Beobachtung !
Damit eröffnest du eine weitere innovative Abteilung
im Arsenal der "mitten aus dem Leben gegriffenen
Anwendungsaufgaben für die Schule" !
LG  Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Sa 17.01.2015 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank für die hilfreichen Antworten.
Als Regressionskurve ergibt sich bei mir nach einsetzen von f(2)=40 für k=0,6
Damit ergibt sich [mm] f(x)=20+70e^{-0.6k} [/mm] Ist diese Regressionskurve in Ordung?
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 17.01.2015 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank für die hilfreichen Antworten.
Als Regressionskurve ergibt sich bei mir nach einsetzen von f(2)=40 für k=0,6
Damit ergibt sich $ [mm] f(x)=20+70e^{-0.6k} [/mm] $ Ist diese Regressionskurve in Ordung?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Sa 17.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sieht dehr gut aus, ist aber wohl keine eigentlicche Regression. (du hast nur 3 Punkte, t=0, 2, [mm] \infty [/mm] benutzt) Aber es benutzt die Daten viel besser als die vorige falsche Funktion. Der Vergleich mit den Messwerten ergibt, dass alle Werte der fkt wenig oberhalb der Messpunkt liegen, dass also die 0.6 wohl nur auf eine Stelle genau ist.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Sa 17.01.2015 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank
Kann ich diese Funktion [mm] (f(x)=20+70e^{-0.6t}) [/mm] für meine Präsentation am Montag verwenden oder muss ich die "eigentliche Regression" machen? Da ich nicht weiß, wie diese funktioniert, wäre es nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie man eine Regression macht. Meine Regressionskurve ist also nur auf eine Stelle nach dem Komma genau? Habe ich das richtig verstanden?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 17.01.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Kann ich diese Funktion [mm](f(x)=20+70e^{-0.6t})[/mm] für meine
> Präsentation am Montag verwenden oder muss ich die
> "eigentliche Regression" machen?
Ich denke, daß du sie verwenden kannst und solltest. In der Aufgabenstellung ist von einer geeigneten Regressionskurve die Rede, und das trifft auf deine Funktion zu.
Du solltest aber natürlich erklären können, wie du zu ihr gekommen bist und warum du dich dafür entschieden hast. Außerdem solltest du vielleicht (je nach Niveau) noch kurz vorbringen, was lineare Regression ist und wie die Regressionsgerade entsteht, da gibt es nur eine.
Das wird schon klappen!
Gruß Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 18.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Du kannst folgenden Weg gehen, um die lineare Regression des Taschenrechners zu verwenden. Alternativ kannst Du dann auch die Datenpunkte zeichnen und ein Lineal benutzen, um eine möglichst gute Ausgleichsgerade zu zeichnen.
Subtrahiere von allen Temperaturwerten 20°. Logarithmiere die Ergebnisse. Dann hast Du einen neuen Datensatz, der recht gut eine Gerade darstellen sollte. Zeichne diesen Datensatz zur Kontrolle. Bestimme die Regressionsgerade mit dem Taschenrechner, oder zeichne sie mit einem durchsichtigen Lineal, so dass die Summe der (quadrierten) Abweichungen minimal wird. Bestimme die Steigung der Geraden (Ausgabe des Taschenrechners oder Steigungsdreieck). Die Steigung ist Dein Vorfaktor vor dem t.
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