Abl. Distribution Lebesgueint. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Do 01.06.2006 | | Autor: | QCO |
| Aufgabe | | Man zeige: [mm](T_{ln |x|})' = \mathcal{P} \bruch{1}{x}[/mm]. |
Es geht um Distributionen... [mm]\mathcal{P}[/mm] steht für den Cauchyschen Hauptwert.
Also zunächst setze ich erstmal Def. ein und lasse die Distribution auf eine Funktion [mm]\phi[/mm] los.
[mm](T_{ln |x|})' (\phi) = T_{(ln |x|)'} (\phi)} = \integral_{\IR}^{}{(ln |x|)' * \phi(x) d\mu_{L}(x)}[/mm]
[mm] = ?? fehlt ?? = [/mm] [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\infty} ( \integral_{- \infty}^{- \varepsilon} + \integral_{ \varepsilon}^{\infty} ){\bruch{1}{x} * \phi(x) d\mu_{L}(x)}[/mm]
[mm](ln |x|)' = \bruch{1}{x}[/mm] allerdings nur für [mm]x\not=0[/mm]
Leider komme ich mit dem Lebesgueintegral nicht so klar.
Wenn man das Integral [mm]\integral_{\IR}^{}{\bruch{1}{x} * \phi(x) d\mu_{L}(x)}[/mm] irgendwie mit so einer Treppenfunktion zerlegt, müsste man doch zu [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\infty} ( \integral_{- \infty}^{- \varepsilon} + \integral_{ \varepsilon}^{\infty} ){\bruch{1}{x} * \phi(x) d\mu_{L}(x)}[/mm] kommen können.
Ich bekomme bloß so eine Zerlegung nicht hin.
Vielleicht kann mir da jeman helfen... Wäre echt nett.
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Hallo QCO,
> Man zeige: [mm](T_{ln |x|})' = \mathcal{P} \bruch{1}{x}[/mm].
> Es
> geht um Distributionen... [mm]\mathcal{P}[/mm] steht für den
> Cauchyschen Hauptwert.
Ich finde diese Aufgabe ein wenig merkwürdig: die funktion $ln|x|$ erfüllt eigentlich gar nicht die notwendige eigenschaft, um eine distribution zu erzeugen. sie ist nämlich nicht in [mm] $L^1_{loc}(\IR)$, [/mm] das heißt, sie ist nicht lokal integrierbar. (im klartext: für sämtliche testfunktionen, deren träger die null umfasst, ist die erzeugte distribution nicht definiert). gut, schauen wir mal, wie es weitergeht...
>
> Also zunächst setze ich erstmal Def. ein und lasse die
> Distribution auf eine Funktion [mm]\phi[/mm] los.
> [mm](T_{ln |x|})' (\phi) = T_{(ln |x|)'} (\phi)} = \integral_{\IR}^{}{(ln |x|)' * \phi(x) d\mu_{L}(x)}[/mm]
Hier machst du einen fehler: die ableitung einer distribution ist über die ableitung der testfunktion definiert, also:
[mm] $(T_{\ln |x|})' (\phi) [/mm] = [mm] -T_{\ln |x|} (\phi')=-\int_\IR \ln|x|\cdot \phi'$ [/mm] (wobei dieser ausdruck iA. nicht definiert ist....)
Um jetzt überhaupt dem ausdruck eine sinnvolle bedeutung zu geben, muss man ihn wohl zerlegen
[mm] $=-\limes_{\varepsilon\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \integral_{- \infty}^{- \varepsilon} [/mm] + [mm] \integral_{ \varepsilon}^{\infty} [/mm] ) [mm] \ln|x|\cdot \phi'$
[/mm]
Die beiden teilintegrale kannst du jetzt partiell integrieren. Aus meiner Sicht ist dieses Vorgehen zwar nicht 100% sauber, aber eine andere chance hat man wohl nicht.
Gruß
Matthias
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