Ableiten als lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mo 01.12.2014 | | Autor: | BBG811 |
| Aufgabe | Es sei [mm] V=R_2[x] [/mm] der R-Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2. Bestimmen Sie eine Darstellungsmatrix [mm] [\phi] [/mm] zur linearen Abbildung Φ: [mm] V\to [/mm] V, [mm] p\mapsto \bruch{dp}{dx}, [/mm] bezüglich
a) der festgelegten Basen [mm] B_1=B_2={1,x,x^2} \subset [/mm] V
b) der festgelegten Basen [mm] B_1=B_2={(x-1)^2,x^2,(x+1)^2} \subset [/mm] V |
Meine Frage wäre jetzt, ob meine Darstellungsmatrix bei a)
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 &0 } [/mm] so stimmt?
Und bei der b) weiß ich nach diesen Schritt nicht mehr weiter
[mm] \phi((x-1)^2)=2x-2=2(x-1)
[/mm]
[mm] \phi(x^2)=2x
[/mm]
[mm] \phi((x+1)^2)=2x+2=2(x+1)
[/mm]
Ich freue mich über jede Hilfe ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz zur ersten Aufgabe:
> Es sei [mm]V=R_2[x][/mm] der R-Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm]
> 2. Bestimmen Sie eine Darstellungsmatrix [mm][\phi][/mm] zur
> linearen Abbildung Φ: [mm]V\to[/mm] V, [mm]p\mapsto \bruch{dp}{dx},[/mm]
> bezüglich
> a) der festgelegten Basen [mm]B_1=B_2={1,x,x^2} \subset[/mm] V
> b) der festgelegten Basen [mm]B_1=B_2={(x-1)^2,x^2,(x+1)^2} \subset[/mm]
> V
>
> Meine Frage wäre jetzt, ob meine Darstellungsmatrix bei a)
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 &0 }[/mm] so stimmt?
testen wir es doch: [mm] $(1,0,0)^T$ [/mm] entspricht $f(x) [mm] \equiv 1\,,$ $(0,1,0)^T$ [/mm] entspricht $f(x) [mm] \equiv [/mm] x$ und
[mm] $(0,0,1)^T$ [/mm] entspricht [mm] $f(x)\equiv x^2\,;$ [/mm] sowohl im Definitions- als auch im Zielbereich.
Es gilt
[mm] $\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 &0 }*\vektor{1\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0}\,,$
[/mm]
das passt zu $1' [mm] \equiv 0\,.$
[/mm]
Weiter gilt
[mm] $\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 &0 }*\vektor{0\\1\\0}=\vektor{1\\0\\0}\,,$
[/mm]
das passt zu $x' [mm] \equiv 1\,.$
[/mm]
Ferner ist
[mm] $\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 &0 }*\vektor{0\\0\\1}=\vektor{0\\2\\0}=2*\vektor{0\\1\\0}\,,$
[/mm]
das passt zu [mm] $(x^2)' \equiv 2x\,.$
[/mm]
Die Matrix macht bei den Basiselementen von [mm] $\IR_2[x]$ [/mm] (bei dieser Basis) also
das richtige, also passt sie auch schon insgesamt. Erwähnenswert wäre
vielleicht aber noch, dass Du da in der Tat auch eine Basis des [mm] $\IR_2[x]$
[/mm]
überhaupt hast, und eine Begründung, dass [mm] $\phi$ [/mm] auch linear ist. Sofern das
nicht eh schon in der Vorlesung bzw. Übung behandelt worden ist!
Gruß,
Marcel
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> Es sei [mm]V=R_2[x][/mm] der R-Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm]
> 2. Bestimmen Sie eine Darstellungsmatrix [mm][\phi][/mm] zur
> linearen Abbildung Φ: [mm]V\to[/mm] V, [mm]p\mapsto \bruch{dp}{dx},[/mm]
> bezüglich
> b) der festgelegten Basen [mm]B_1=B_2={(x-1)^2,x^2,(x+1)^2} \subset[/mm]
> V
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Und bei der b) weiß ich nach diesen Schritt nicht mehr
> weiter
> [mm]\phi((x-1)^2)=2x-2=2(x-1)[/mm]
Du mußt nun [mm] \phi((x-1)^2) [/mm] als Linearkombination von [mm] (x-1)^2,x^2,(x+1)^2 [/mm] schreiben:
[mm] \phi((x-1)^2)=2x-2=a*(x-1)^2+b*x^2+c*(x+1)^2=\vektor{a\\b\\c}_{(B_2)}.
[/mm]
Damit hast Du die erste Spalte der gesuchten Matrix,
die anderen dann entsprechend.
LG Angela
> [mm]\phi(x^2)=2x[/mm]
> [mm]\phi((x+1)^2)=2x+2=2(x+1)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Di 02.12.2014 | | Autor: | BBG811 |
Erstmal vielen Dank für die Antworten.
> > Es sei [mm]V=R_2[x][/mm] der R-Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm]
> > 2. Bestimmen Sie eine Darstellungsmatrix [mm][\phi][/mm] zur
> > linearen Abbildung Φ: [mm]V\to[/mm] V, [mm]p\mapsto \bruch{dp}{dx},[/mm]
>
> > bezüglich
>
>
> > b) der festgelegten Basen [mm]B_1=B_2={(x-1)^2,x^2,(x+1)^2} \subset[/mm]
>
> > V
>
> Hallo,
>
> .
>
> > Und bei der b) weiß ich nach diesen Schritt nicht mehr
> > weiter
> > [mm]\phi((x-1)^2)=2x-2=2(x-1)[/mm]
>
> Du mußt nun [mm]\phi((x-1)^2)[/mm] als Linearkombination von
> [mm](x-1)^2,x^2,(x+1)^2[/mm] schreiben:
>
> [mm]\phi((x-1)^2)=2x-2=a*(x-1)^2+b*x^2+c*(x+1)^2=\vektor{a\\b\\c}_{(B_2)}.[/mm]
>
> Damit hast Du die erste Spalte der gesuchten Matrix,
> die anderen dann entsprechend.
>
> LG Angela
>
>
Muss ich jetzt die Werte für a,b und c noch irgendwie ausrechnen? Und wenn ja muss ich die mir dann geschickt überlegen oder gibt es da einen einfachen Rechenweg? Ich komm da gerade nicht drauf.
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> Erstmal vielen Dank für die Antworten.
>
> > > Es sei [mm]V=R_2[x][/mm] der R-Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm]
> > > 2. Bestimmen Sie eine Darstellungsmatrix [mm][\phi][/mm] zur
> > > linearen Abbildung Φ: [mm]V\to[/mm] V, [mm]p\mapsto \bruch{dp}{dx},[/mm]
>
> >
> > > bezüglich
> >
> >
> > > b) der festgelegten Basen [mm]B_1=B_2={(x-1)^2,x^2,(x+1)^2} \subset[/mm]
>
> >
> > > V
> >
> > Hallo,
> >
> > .
> >
> > > Und bei der b) weiß ich nach diesen Schritt nicht mehr
> > > weiter
> > > [mm]\phi((x-1)^2)=2x-2=2(x-1)[/mm]
> >
> > Du mußt nun [mm]\phi((x-1)^2)[/mm] als Linearkombination von
> > [mm](x-1)^2,x^2,(x+1)^2[/mm] schreiben:
> >
> >
> [mm]\phi((x-1)^2)=2x-2=a*(x-1)^2+b*x^2+c*(x+1)^2=\vektor{a\\b\\c}_{(B_2)}.[/mm]
> >
> > Damit hast Du die erste Spalte der gesuchten Matrix,
> > die anderen dann entsprechend.
> >
> > LG Angela
> >
> >
>
> Muss ich jetzt die Werte für a,b und c noch irgendwie
> ausrechnen?
Hallo,
ja, natürlich.
> Und wenn ja muss ich die mir dann geschickt
> überlegen oder gibt es da einen einfachen Rechenweg?
Du hast
[mm] 2x-2=a(x-1)^2+bx^2+c(x+1)^2= (a+b+c)x^2+(-2a+2c)x+(a+c).
[/mm]
Daraus (Koeffizientenvergleich) bekommst Du ein LGS:
a+b+c=0
-2a+2c=2
a+c=-2.
Das mußt Du lösen.
LG Angela
> Ich
> komm da gerade nicht drauf.
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