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| Aufgabe | | Beweise: f(x)=sin(ax) ergibt sin'(ax)=a mal cos(ax) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss den Beweis für die Aufgabe in einem Referat führen. Ich habe auch schon einen Ansatz, aber nur für die Funktion f mit f(x)=sin x. Dafür ergibt sich: [mm] cos(x_{0}+\bruch{h}{2}) [/mm] mal [mm] \bruch{sin(\bruch{h}{2})}{\bruch{h}{2}}. [/mm]
Und dann gilt für h gegen 0 : [mm] cos(x_{0}+\bruch{h}{2}) [/mm] gegen cos [mm] x_{0}. [/mm] So. Und daraus folgt dann , dass für f(x)=sin x gilt f'(x)=cos x.
Mein Problem ist jetzt, dass ich diesen Weg schon nicht verstehe und auch nicht weiß wie ich davon dann auf den oben genannten Beweis schließen soll. Muss ich dann einfach das ganze durchrechnen und statt sin x sin(ax) einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kanns tden Differenzenquotienten anders schreiben:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(sinax+ah)-sin(ax)}{h}
[/mm]
denn wenn h beliebig klein wird dann ja auch a*h
dann machst dus wie bei sinx und am Ende hast du dann eben [mm] \bruch{sin(ah/2)}{h/2} [/mm] und das geht gegen a
das setzt aber vorraus, dass du weisst warum [mm] \bruch{sin(ah/2)}{h/2} [/mm] gegen 1 geht.
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Wie kann ich begründen, dass lim h gegen 0 von [mm] \bruch{sin ah/2}{h/2} [/mm] gegen a geht?? |
Okay, also ich weiß, warum [mm] \bruch{sin h/2}{h/2} [/mm] gegen 1 geht. Für h/2 darf man auch x setzen. Und dann muss man ja die drei Flächeninhalte aus dem Einheitskreis vergleichen. [mm] I_{1} [/mm] < I < [mm] I_{2}
[/mm]
Also:
1/2 (cosx)(sinx) < 1/2 * 1² * x < 1/2 *1*sinx/cosx
Das teilt man dann durch 1/2*sinx:
cosx < 1/2x / 1/2sinx < 1/cosx
Davon nimmt man die Kehrwerte:
1/cosx > sinx /x > cosx
= [mm] 1\ge \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] sinx/x [mm] \ge [/mm] 1
Oh, das da oben sollte ein limes h gegen 0 werden...Aber wie macht man das für [mm] \bruch{sin ah/2}{h/2} [/mm] ?? Vor welche x muss ich ein a setzen? Und warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 19.04.2007 | | Autor: | wauwau |
wenn du weißt, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 1
dann gilt aber
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(ax)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}a*\bruch{sin(ax)}{ax} [/mm] = [mm] a*\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(ax)}{ax} [/mm] = a*1 = a
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Sorry, aber dem Gedankengang kann ich nicht folgen. Kann ihn mir bitte jemand genauer erklären?
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> Sorry, aber dem Gedankengang kann ich nicht folgen. Kann
> ihn mir bitte jemand genauer erklären?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Kannst Du bitte genauer sagen, welchen von wauwaus Schritten Du nicht verstehst?
Gruß v. Angela
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Okay ^^.
Also, ich verstehe nicht wie bei wauwaus zweitem schritt die beiden a's dazukommen. Von sin(ax)/x zu a *sin(ax)/ a x.
Und dann weiß ich außerdem nicht, warum man das erste grüne a vor den limes setzen darf und dann, alle guten Dinge sind drei: Wie kommt man vom dritten zum vierten schritt auf a*1?
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> Also, ich verstehe nicht wie bei wauwaus zweitem schritt
> die beiden a's dazukommen. Von sin(ax)/x zu a *sin(ax)/ a
> x.
Das ist recht einfach: er multipliziert mit [mm] \bruch{a}{a}=1. [/mm] Das darf man ungestraft tun.
> Und dann weiß ich außerdem nicht, warum man das erste
> grüne a vor den limes setzen darf
Es ist eine Konstante, völlig unveränderlich.
>und dann, alle guten
> Dinge sind drei: Wie kommt man vom dritten zum vierten
> schritt auf a*1?
>> $ [mm] a\cdot{}\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(ax)}{ax} [/mm] $ = a*1
Denk Dir ax durch y ersetzt. Wenn x gegen 0 geht, geht auch ax gegen 0 und man könnte schreiben
[mm] a\cdot{}\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(ax)}{ax}= a\cdot{}\limes_{y\rightarrow 0}\bruch{sin(y)}{y}.
[/mm]
Und nun verwendet man, daß [mm] \limes_{y\rightarrow 0}\bruch{sin(y)}{y}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=1 [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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Super, dankeschön!!
Jetzt hab ichs verstanden ^^
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Okay, also ich glaube ich habs jetzt, bis auf die drei Fragen unten, verstanden. Könnte es sich bitte nochmal jemand durchlesen und schauen ob ich noch Fehler drin habe?
Beweise: f(x)=sin(ax) ergibt sin'(ax)= a*cos x
1) [mm] sin\alpha [/mm] - [mm] sin\beta [/mm] = 2*cos [mm] \bruch{\alpha+\beta}{2} [/mm] * [mm] sin\bruch{\alpha-\beta}{2}
[/mm]
2) Wir setzen [mm] \alpha [/mm] = ax+ah ; [mm] \beta=ax
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] sin(ax+h)-sin(ax) = [mm] 2*cos\bruch{2ax+ah}{2} *sin\bruch{ah}{2}
[/mm]
[mm] =2*cos(ax+\bruch{ah}{2}) *sin\bruch{ah}{2}
[/mm]
3) [mm] m_{ax+ah} [/mm] = [mm] \bruch{2*cos(ax+\bruch{ah}{2})*sin\bruch{ah}{2}}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{cos(ax+\bruch{ah}{2})*sin\bruch{ah}{2}}{\bruch{h}{2}}
[/mm]
= [mm] cos(ax+\bruch{ah}{2})*\bruch{sin\bruch{ah}{2}}{\bruch{h}{2}}
[/mm]
4) [mm] \lim_{h\rightarrow\0} m_{ax+ah} [/mm] = [mm] \lim_{h\rightarrow\0} cos(ax+\bruch{ah}{2}) [/mm] * [mm] \lim_{h\rightarrow\0} \bruch{sin\bruch{ah}{2}}{\bruch{h}{2}}
[/mm]
= cos(ax)*a
Oh nein, es hat schon wieder nicht funktioniert: Der limeskram sollte immer gegen 0 gehen.
Sooo, meine drei Fragen sind jetzt folgende:
1)Warum muss bei 2) für [mm] \alpha [/mm] ax+ah gesetzt werden? Vor allen
Dingen: Warum nicht ax+h??
2)Muss man bei 4) den limes von h gegen 0 setzen oder von ah
gegen 0?
3)Zu den Erklärungen von angela: Was ist die Konstante und
warum ist sie unveränderlich? Also inwiefern unveränderlich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Fr 20.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Okay, also ich glaube ich habs jetzt, bis auf die drei
> Fragen unten, verstanden. Könnte es sich bitte nochmal
> jemand durchlesen und schauen ob ich noch Fehler drin habe?
>
> Beweise: f(x)=sin(ax) ergibt sin'(ax)= a*cos x
>
> 1) [mm]sin\alpha[/mm] - [mm]sin\beta[/mm] = 2*cos [mm]\bruch{\alpha+\beta}{2}[/mm] *
> [mm]sin\bruch{\alpha-\beta}{2}[/mm]
>
> 2) Wir setzen [mm]\alpha[/mm] = ax+ah ; [mm]\beta=ax[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] sin(ax+h)-sin(ax) = [mm]2*cos\bruch{2ax+ah}{2} *sin\bruch{ah}{2}[/mm]
>
> [mm]=2*cos(ax+\bruch{ah}{2}) *sin\bruch{ah}{2}[/mm]
>
> 3) [mm]m_{ax+ah}[/mm] =
> [mm]\bruch{2*cos(ax+\bruch{ah}{2})*sin\bruch{ah}{2}}{h}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{cos(ax+\bruch{ah}{2})*sin\bruch{ah}{2}}{\bruch{h}{2}}[/mm]
> =
> [mm]cos(ax+\bruch{ah}{2})*\bruch{sin\bruch{ah}{2}}{\bruch{h}{2}}[/mm]
>
> 4) [mm]\lim_{h\rightarrow\0} m_{ax+ah}[/mm] = [mm]\lim_{h\rightarrow\0} cos(ax+\bruch{ah}{2})[/mm]
> * [mm]\lim_{h\rightarrow\0} \bruch{sin\bruch{ah}{2}}{\bruch{h}{2}}[/mm]
>
>
> = cos(ax)*a
> Oh nein, es hat schon wieder nicht funktioniert: Der
> limeskram sollte immer gegen 0 gehen.
> Sooo, meine drei Fragen sind jetzt folgende:
>
> 1)Warum muss bei 2) für [mm]\alpha[/mm] ax+ah gesetzt werden? Vor
> allen
> Dingen: Warum nicht ax+h??
du schreibst doch die Funktion an der Stelle x+h und an der Stelle x auf. deshalb mach das lieber einen Schritt langsamer: sin(a*(x+h)) =1,1 einstzt, nimmst du doch auch sina*1,1 und nicht sin(1*a+0,1) ersetz 0,1 durch h und du siehst es!
so und sin (a*(x+h))=sin(ax+ah)
> 2)Muss man bei 4) den limes von h gegen 0 setzen oder von
natürlich h, denn du hast ja zu x h addiert und nicht ah,
> gegen 0?
> 3)Zu den Erklärungen von angela: Was ist die Konstante und
> warum ist sie unveränderlich? Also inwiefern
> unveränderlich?
die Konstante ist hier a, das ändert sich ja nicht weil du mit h was tust! und der Grenzwert von einer Zahl mal "irgendwas" ist dasselbe wie die Zahl mal dem Grenzwert von "irgendwas"
aber das letzte brauchst du ja nicht unbedingt, du musst nur wissen dass für kleine y gilt siny=y also wenn h klein ist ist ah/ klein und [mm] sina/2\approx [/mm] ah/2 und deshalb [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin ah/2}{h/2}=a
[/mm]
(das sollte noch irgendwo stehen, und dafür hattest du ja auch den Beweis mit den Flächen! )
ich hoff jetzt ist alles glasklar, sonst frag ruhig weiter!
Gruss leduart
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Hmm, doch, jetzt sind auch die letzten Fragezeichen aus dem Weg geräumt! Vielen Dank! Am Montag muss ich das Referat halten und falls mir bis dahin doch noch was einfällt....^^ Aber sonst hat der Rechenweg gestimmt, ja?
Viele Grüße,
ich-verstehs-einfach-nich (ich sollte meinen nickname ändern..^^)
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