Ableiten einer Betragsfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Di 23.11.2004 | | Autor: | Laura20 |
Hallöchen!
Ich hab da mal ne ganz blöde Frage:
Wenn ich eine Funktion habe, die einen Betrag beinhaltet, z.B. [mm] f(x)=exp(|1-x^2|), [/mm] wie differenziere ich die Funktion dann? Einfach die Betragsstriche mitnehmen, also [mm] f`(x)=|2x|exp(|1-x^2|)oder [/mm] wie? Komme mir selbst ziemlich dämlich vor nach nem Mathe-LK sowas nicht zu wissen, aber irgentwie hatten wir das in der Schule nie. Hoffe ihr könnt mir Auskunft geben,
mfg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Di 23.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura,
die "sicherste" Methode ist, die Funktion aufzusplitten in die Bereiche, welche durch den Betragsstriche begrenzt sind:
[mm] $1-x^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw [/mm] |x| [mm] \le [/mm] 1$ bzw. $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] +1$
Es gilt also:
$f(x) = [mm] e^{1-x^2}$ [/mm] für $|x| [mm] \le [/mm] 1$
$f(x) = [mm] e^{-(1-x^2)} [/mm] = [mm] e^{x^2-1}$ [/mm] für $|x| > 1$
Nun kannst Du für beide Fälle einzeln die Ableitung bilden.
Offen ist nun natürlich die Frage, ob die Funktion auch an den Stellen
[mm] $x_1 [/mm] = -1$ und [mm] $x_2 [/mm] = +1$ differenzierbar ist.
Für Ableitungsfunktion gelten vorerst nur die "echten" Ungleichheitszeichen ">" bzw. "<".
Für die beiden genannten Stellen müsste die Differenzierbarkeit noch separat überprüft werden.
Grüße Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Laura
du kannst auch ganz einfach die Definition der Betragsfunktion heranziehen:
[mm] $\left|f\right| [/mm] = [mm] \wurzel{f^{2}}$
[/mm]
Dann ist die erste Ableitung diese:
[mm] $\bruch{f*f'}{\left|f\right|}^$ [/mm] (Aeussere Ableitung mal innere Ableitung)
Für deine Beispielfunktion wäre das dann:
[mm] $\bruch{2x(x^{2}-1)}{\left|x^{2}-1\right|}*\exp(\left|x^{2}-1\right|)$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Man könnte auch noch mit der Signum-Funktion arbeiten, aber dann tauchen wieder die Probleme auf zu untersuchen, wo denn die Funktion überhaupt differenzierbar ist. Bei obiger Lösung natürlich auch, aber es springt sofort ins Auge, weil einfach die Stellen mit einem Nenner Null ausgeschlossen sind.
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