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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 30.09.2005 | | Autor: | DieEule |
Hallo Leute!
ich habe hier zwei-drei Funktionen, von denen ich die partielle Ableitung brauche.. nur hab' ich so etwas lange nicht mehr gemacht, und würde mich deshalb über ein wenig Unterstützung/Bestätigung freuen.
Also, hier die erste Funktion
[mm] G(x) = 1-exp(- \lambda_1X_1-\lambda_2X_2) [/mm]
da sich
[mm]exp(- \lambda_1X_1-\lambda_2X_2) [/mm]
auch als
[mm] exp(- \lambda_1X_1)* exp(-\lambda_2X_2) [/mm]
schreiben lässt, müsste beim ableiten nach [mm]X_1[/mm] der zweite Teil des vorstehenden Ausdrucks konstant sein, so dass die partielle Ableitung nach [mm]X_1[/mm] dann
[mm]\bruch {\partial G(X)}{\partial X_1}=-exp(-\lambda_1X_1)*(-\lambda_1)*c[/mm]
bzw. nach einsetzen des zweiten Teils
[mm]\bruch {\partial G(X)}{\partial X_1}=\lambda_1exp(-\lambda_1X_1)*exp(-\lambda_2X_2)[/mm]
lauten müsste.
Seid ihr soweit einverstanden, oder gibt es irgendwelche Denkfehler ?
Dann zum zweiten Teil, der einen Interaktionsterm enthält:
[mm] G(x) = 1-exp(- \lambda_1X_1-\lambda_2X_2 -\lambda_3X_1X_2) [/mm]
jetzt gibt es einen zusätzlichen Ausdruck, der mit [mm] X_1[/mm] variiert; ich denke, dass ich hier die Produktregel nutzen kann. Mein Ansatz sieht bisher so aus:
[mm]-\lambda_2X_2[/mm] wieder als konstant 'rausziehen', dann muss ich die Ableitung von
[mm] 1-exp(- \lambda_1X_1 -\lambda_3X_1X_2) [/mm]
finden, und mit [mm]-\lambda_2X_2[/mm] multiplizieren.. kann mir jemand sagen, wie sich dieser Term ableiten lässt? ich bin mir nicht sicher, ob das mit der Produktregel geht; ich denke, die voranstehende eins fällt weg, das c bleibt stehen, dann habe ich als partielle Ableitung nach [mm]X_1[/mm] :
[mm] \lambda_1exp(-\lambda_1X_1-\lambda_3X_1X_2)+\lambda_3X_2exp(-\lambda_1X_1-\lambda_3X_1X_2) [/mm]
ich bin für Kommentare dankbar!
ach, und falls es jemanden interessiert, ich brauche die Ableitungen um Faktorproduktivitäten abzuschätzen..
Viele Grüsse
PS ein ähnliches Problem habe ich mit einer logistischen und einer Pareto- Funktion, aber für 'n Anfang ist die Exponentialfunktion wohl doch angebrachter (ich spreche für mich)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Eule,
erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
[mm]G(x) = 1-\exp(- \lambda_1X_1-\lambda_2X_2)[/mm]
>
> da sich
>
> [mm]exp(- \lambda_1X_1-\lambda_2X_2)[/mm]
>
> auch als
>
> [mm]exp(- \lambda_1X_1)* exp(-\lambda_2X_2)[/mm]
>
> schreiben lässt, müsste beim ableiten nach [mm]X_1[/mm] der zweite
> Teil des vorstehenden Ausdrucks konstant sein, so dass die
> partielle Ableitung nach [mm]X_1[/mm] dann
>
> [mm]\bruch {\partial G(X)}{\partial X_1}=-exp(-\lambda_1X_1)*(-\lambda_1)*c[/mm]
>
> bzw. nach einsetzen des zweiten Teils
>
> [mm]\bruch {\partial G(X)}{\partial X_1}=\lambda_1exp(-\lambda_1X_1)*exp(-\lambda_2X_2)[/mm]
>
> lauten müsste.
>
> Seid ihr soweit einverstanden, oder gibt es irgendwelche
> Denkfehler ?
Das ist soweit richtig!
> Dann zum zweiten Teil, der einen Interaktionsterm enthält:
>
> [mm]G(x) = 1-\exp(- \lambda_1X_1-\lambda_2X_2 -\lambda_3X_1X_2)[/mm]
OK, das macht man am besten mit der Kettenregel, die da bekanntlich lautet [mm] \bruch{d}{dx}(f(g(x)))=f'(g(x))*g'(x)[/mm]
Also in diesem Fall ist dann [mm]X_1=x[/mm], alles andere sind Konstanten für uns.
Es gilt [mm] \bruch{d}{dx} \exp(x)=\exp(x)[/mm], also
[mm]\bruch{\partial G(x)}{\partial X_1}=-\exp(- \lambda_1X_1-\lambda_2X_2 -\lambda_3X_1X_2)*(-\lambda_1-\lambda_3X_2)=
(\lambda_1+\lambda_3X_2)*\exp(- \lambda_1X_1-\lambda_2X_2 -\lambda_3X_1X_2)[/mm]
> jetzt gibt es einen zusätzlichen Ausdruck, der mit [mm]X_1[/mm]
> variiert; ich denke, dass ich hier die Produktregel nutzen
> kann. Mein Ansatz sieht bisher so aus:
>
> [mm]-\lambda_2X_2[/mm] wieder als konstant 'rausziehen', dann muss
Achtung, du ziehst [mm]\exp(-\lambda_2X_2)[/mm] als konstanten Faktor raus!
> ich die Ableitung von
> [mm]1-exp(- \lambda_1X_1 -\lambda_3X_1X_2)[/mm]
>
> finden, und mit [mm]-\lambda_2X_2[/mm] multiplizieren.. kann mir
> jemand sagen, wie sich dieser Term ableiten lässt? ich bin
> mir nicht sicher, ob das mit der Produktregel geht; ich
> denke, die voranstehende eins fällt weg, das c bleibt
> stehen, dann habe ich als partielle Ableitung nach [mm]X_1[/mm] :
>
> [mm]\lambda_1exp(-\lambda_1X_1-\lambda_3X_1X_2)+\lambda_3X_2exp(-\lambda_1X_1-\lambda_3X_1X_2)[/mm]
>
> ich bin für Kommentare dankbar!
Wie du schon schreibst, muss das c stehen bleiben, das heißt in deiner part. Ableitung fehlt noch der Faktor [mm]\exp(-\lambda_2X_2)[/mm] (vgl. mit oben)
Ich würde hier aber sofort an die Kettenregel und nicht die Produktregel denken, denn dann gehts schneller 
mfG
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Sa 01.10.2005 | | Autor: | DieEule |
Hallo und herzlichen Dank! mit der Kettenregel ist's in der Tat einfacher!
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