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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Ableitung
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Ableitung: Grundregeln
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 07.11.2006
Autor: chris2203

Aufgabe
Geben Sie die ersten 3Ableitungen an von:

[mm]f(x)= 3x^4-4x^2+3 [/mm]

[mm]g(x)= 0,5x^3+2x^2-\bruch{1}{3}x+4 [/mm]

Kann mir jemand an Hand des oberen Beispieles die Ableitungsregeln erklären. Mein Mathebuch ist irgendwie abstrakt, zumindestens verstehe ich es nicht!

Danke im voraus!


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Di 07.11.2006
Autor: hase-hh

moin,

die allgemeine ableitungsregel für ganzrationale funktionen (=funktionen, in denen x nur als ganze bzw. rationale zahl vorkommt; kein x im nenner, kein x als exponent) lautet:

1) f(x)= [mm] a*x^n [/mm]    ->   f'(x)= [mm] n*a*x^{n-1} [/mm]     sog. Potenzregel

solange ein summand aus faktor mal x besteht (bzw. aus faktor mal [mm] x^n), [/mm] bleibt dieser faktor beim ableiten erhalten! (s. beispiel)

2) wenn ein summand kein x enthält, fällt dieser beim ableiten weg.
theoretische erklärung am beispiel f(x)= 8     könnte man mathematisch ja auch schreiben als  f(x)= [mm] 8*x^0 [/mm]  (denn eine zahl hoch 0 ist immer 1). wenn ich diesen ausdruck nun ableite, entsteht

[mm] f'(x)=0*8*x^{0-1} [/mm] =0


3) eine funktion, die aus mehreren summanden besteht, kann man summand für summand ableiten.

f(x)= [mm] 8x^2 [/mm] -3x + 7   = g(x) + h(x) + i(x)

[mm] g(x)=8x^2 [/mm]
h(x)=-3x
i(x)=7

g'(x)=16x
h'(x)=-3
i'(x)=0

=> f'(x)=16x -3      sog. Summenregel.


wir machen mal die erste aufgabe zusammen, und dann probier doch mal die zweite allein und schreib deinen lösungsversuch dazu auf!

[mm] f(x)=3x^4 -4x^2 [/mm] +3


1. Ableitung bilden

wir fangen mit dem ersten summanden an  [mm] 3x^4 [/mm]
wie lautet die ableitung von [mm] 3x^4 [/mm] ?

nach der potenzregel gilt:

[mm] ax^n [/mm] -> [mm] n*a*x^{n-1} [/mm]

was ist hier a?  richtig: a=3
was ist hier n?  jo: n=4

=> [mm] 4*3*x^{4-1} [/mm] = [mm] 12x^3 [/mm]

wir machen weiter mit dem zweiten summanden an  [mm] -4x^2 [/mm]
wie lautet die ableitung von [mm] -4x^2 [/mm] ?

nach der potenzregel gilt:

[mm] ax^n [/mm] -> [mm] n*a*x^{n-1} [/mm]

was ist hier a?  jawoll: a=-4
was ist hier n?  und: n=2

=> [mm] 2*(-4)*x^{2-1} [/mm] = [mm] -8x^1 [/mm] = -8x


und schließlich der dritte summand lautet 3
wie lautet die ableitung von 3?

a) entweder ich habe mir schon gemerkt, dass die ableitung einer konstanten (ohne verknüpfung mit x) immer null ist, dann bin ich mit dem dritten summanden schon fertig!

ableitung von 3 ist null.

oder via potenzregel:

3= 3*1 = [mm] 3*x^0 [/mm]

[mm] ax^n [/mm] -> [mm] n*a*x^{n-1} [/mm]

was ist hier a?  genau: a=3
was ist hier n?  tschö: n=0

=> [mm] 0*3*x^{0-1} [/mm] = 0

nun muss ich das ganze noch zusammensetzen und erhalte:

f'(x)= [mm] 12x^3 [/mm] -8x +0 = [mm] 12x^3 [/mm] -8x


2. Bilden der zweiten Ableitung

Vorgehen genau so wie oben


wie lautet die ableitung von [mm] 12x^3 [/mm] nach potenzregel?

[mm] 3*12*x^{3-1} [/mm]

wie lautet die ableitung von -8x?

[mm] 1*(-8)*x^{1-1} [/mm]

und dann zusammensetzen:

[mm] f''(x)=36x^2 [/mm] - 8


3. dritte ableitung:

f'''(x)=2*36x


tschö

gruß
wolfgang
Bezug
                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Di 07.11.2006
Autor: chris2203

Woow.. Danke für die viele Arbeit!

Gruß
Bezug
        
Bezug
Ableitung: MatheBank!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Di 07.11.2006
Autor: informix

Hallo chris2203,

> Geben Sie die ersten 3Ableitungen an von:
>  
> [mm]f(x)= 3x^4-4x^2+3[/mm]
>  
> [mm]g(x)= 0,5x^3+2x^2-\bruch{1}{3}x+4[/mm]
>  Kann mir jemand an Hand
> des oberen Beispieles die Ableitungsregeln erklären. Mein
> Mathebuch ist irgendwie abstrakt, zumindestens verstehe ich
> es nicht!
>  

[guckstduhier] MBSchulMatheLexikon, darin: MBAbleitungsregeln

Gruß informix
Bezug
                
Bezug
Ableitung: Übung!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Di 07.11.2006
Autor: chris2203

Werde zwar gleich irre vor Zahlen aber ich versuche jetzt mal die Ableitung der zweiten Aufgabe

[mm] 0,5x^3+2x^2-\bruch{1}{3}x+4 [/mm]

[mm] 3*0,5#x^{3-1} [/mm]     = [mm] 1,5x^2 [/mm]
[mm] 2*2*x^{2-1} [/mm]         =4x
1* [mm] -\bruch{1}{3}^{1-1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3} [/mm]
4= 0

Zusammen:

[mm] 1,5x^2+4x-\bruch{1}{3} [/mm]

[mm] 2*1,5^{2-1} [/mm]  = 3x
[mm] 1*4^{1-1} [/mm]      =4
[mm]\bruch {1}{3}= 0[/mm]

= 3x+4

So Richtig? :-/
Bezug
                        
Bezug
Ableitung: alles richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Di 07.11.2006
Autor: informix

Hallo chris2203,

> Werde zwar gleich irre vor Zahlen aber ich versuche jetzt
> mal die Ableitung der zweiten Aufgabe
>  
> [mm]0,5x^3+2x^2-\bruch{1}{3}x+4[/mm]
>  
> [mm]3*0,5#x^{3-1}[/mm]     = [mm]1,5x^2[/mm]
>  [mm]2*2*x^{2-1}[/mm]         =4x
>  1* [mm]-\bruch{1}{3}^{1-1}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
>  4= 0
>  
> Zusammen:
>  
> [mm]1,5x^2+4x-\bruch{1}{3}[/mm]

[daumenhoch]
besser so: [mm] $f(x)=0,5x^3+2x^2-\bruch{1}{3}x+4$ $\Rightarrow f'(x)=1,5x^2+4x-\bruch{1}{3}$ $\Rightarrow [/mm] f''(x)=3x+4$

Beachte einfach die MBAbleitungsregeln ...
>  
> [mm]2*1,5^{2-1}[/mm]  = 3x [verwirrt]
>  [mm]1*4^{1-1}[/mm]      =4  [verwirrt]
>  [mm]\bruch {1}{3}= 0[/mm]   [notok] [verwirrt]
>  
> = 3x+4
>  
> So Richtig? :-/

gut - weiter so! [super]

Gruß informix
Bezug
                                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Di 07.11.2006
Autor: chris2203

Geil..Danke (Die Schreibform schaffe ich dann auch noch:-))
Bezug
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