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Hallo,
ich habe die 1. ABleitung nach x: [mm] 2x(1-2x^2-2y^2)
[/mm]
Wie lautet nun die 2. Ableitung, aber nach y? Es bleibt doch nur [mm] -2y^2 [/mm] stehen oder? Ist es dann -4y? Die Lösung sagt -8xy.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe die 1. ABleitung nach x: [mm]2x(1-2x^2-2y^2)[/mm]
ist das [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)$? [/mm] Wie lautet denn die Funktion $f(x,y)$?
> Wie lautet nun die 2. Ableitung, aber nach y? Es bleibt
> doch nur [mm]-2y^2[/mm] stehen oder? Ist es dann -4y? Die Lösung
> sagt -8xy.
Ich nehme an, Du meinst [mm] $\frac{\partial^2}{\partial y \partial x}f(x,y)$? [/mm] Das wäre dann wegen [mm] $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=2x(1-2x^2-2y^2)$ [/mm] folglich
[mm] $$\frac{\partial}{\partial y}2x(1-2x^2-2y^2)=2x*(-4y) \;\;\;(\text{Da Du nach }y \text{ ableitest, entspricht das der eindimensionalen Regel } [/mm] g(y)=K*f(y) [mm] \Rightarrow g'(y)=\frac{d}{dy} g(y)=K*f'(y))\,.$$
[/mm]
[mm] $$\text{ Bzgl. der Variablen }y \text{ ist ja bei der partiellen Differentiation nach }y \text{ dann }x \text{ als konstant zu betrachten.}$$
[/mm]
Mit $2x*(-4y)=-8xy$ erhältst Du dann das behauptete Ergebnis.
Alternativ kannst Du auch so rechnen:
[mm] $$\frac{\partial}{\partial y}(2x(1-2x^2-2y^2))=\frac{\partial}{\partial y}(2x-4x^3-4xy^2)=-8xy\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Danke :)
Ich habe aber hier noch eine schwierigere Funktion, die ich nach x ableiten soll:
[mm] f(x)=x^2*e^{y^2+x^2}+sin(x^2+y^2)
[/mm]
nach x abgeleitet:
[mm] 2x*e^{x^2+y^2}+x^2*2xe^{y^2+x^2}+cos(x^2+y^2)*2x
[/mm]
Ist das richtig?
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> Danke :)
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> Ich habe aber hier noch eine schwierigere Funktion, die ich
> nach x ableiten soll:
>
> [mm]f(x)=x^2*e^{y^2+x^2}+sin(x^2+y^2)[/mm]
> nach x abgeleitet:
> [mm]2x*e^{x^2+y^2}+x^2*2xe^{y^2+x^2}+cos(x^2+y^2)*2x[/mm]
>
> Ist das richtig? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, korrekt.
Natürlich könnte man noch zusammenfassen.
LG
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Also so richtig klar ist mir das nicht, aber vielleicht sollte ich mich sauberer ausdrücken, also:
[mm] f(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2
[/mm]
abgeleitet nach x: [mm] 2x(1-2x^2-2y^2)
[/mm]
nach y: [mm] -2y(1+2x^2+2y^2)
[/mm]
Es soll nun 3 Nullstellen geben, aber ich finde sie nicht. 0,0 ist klar, aber was stelle ich mit den Ausdrücken in den Klammern an?
Danke sehr :)
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Hallo, deine Ableitung stimmen leider nicht
1) Ableitung nach x
[mm] 2x-2(x^{2}+y^{2})*2x=2x-4x(x^{2}+y^{2})
[/mm]
leitest du nach x ab, so betrachte y als eine Konstante
2) Ableitung nach y
[mm] -2y-2(x^{2}+y^{2})*2y=-2y-4y(x^{2}+y^{2})
[/mm]
jetzt sollten auch die Nullstellen klappen,
Steffi
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Meine Lösung ist aber auch richtig. Das ist nur umgestellt :)
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Hallo, na klar, du hast noch ausgeklammert
[mm] 2x(1-2x^{2}-2y^{2})=0
[/mm]
untersuche den Fall
[mm] 1-2x^{2}-2y^{2}=0
[/mm]
[mm] y^{2}+x^{2}-\bruch{1}{2}=0
[/mm]
[mm] y=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}-x^{2}}
[/mm]
jetzt jeweils einsetzen
Steffi
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Aber wenn ich den Ausdruck nun für y in Gleichung 1 und 2 einsetze, dann bekomme ich doch auch kein eindeutiges Ergebnis, oder? Ich sehe es jedenfalls nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:19 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Da hast Du Recht, das siehst Du richtig.
Aber Du kannst / musst immer noch $x \ = \ 0$ bzw. $y \ = \ 0$ in die jeweils andere Ableitung einsetzen.
Gruß
Loddar
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