Ableitung? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Di 30.06.2009 | | Autor: | oaken |
ist Ableitung von [mm] x^{x} [/mm] ist [mm] x^{x}?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo oaken,
> ist Ableitung von [mm]x^{x}[/mm] ist [mm]x^{x}?[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wegen [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] für $a>0$ ist
[mm] $x^x=e^{x\cdot{}\ln(x)}$ [/mm]
Und das kannst du mit der Kettenregel ableiten ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Di 30.06.2009 | | Autor: | oaken |
Danke,
[mm] x^x=e^x*e^{lnx}=e^x*x=e^x [/mm] + [mm] x*e^x
[/mm]
stimmt'?
und dann nächste Frage.....Zeigen Sie , dass [mm] (x^{lnx})^' [/mm] = [mm] 2ln(x)*x^{lnx-1}
[/mm]
ich habe
[mm] x^{lnx}= e^{lnx^{lnx}}=x*x
[/mm]
f^'= 2x
wo ist Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Di 30.06.2009 | | Autor: | oaken |
und wie kann man [mm] e^{e^x} [/mm] ableiten?
gleiche Methode??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> und wie kann man [mm]e^{e^x}[/mm] ableiten?
> gleiche Methode??
wieder die Kettenregel:
Setze dazu [mm] $u(x)=e^{x}$ [/mm] und [mm] $v(x)=e^x\;\;\big(\,=\,u(x)\big)\,.$ [/mm] Dann ergibt sich
[mm] $$\big(u(v(x))\big)\!\,'=u'(v(x))*v'(x)\underset{\substack{u(x)=v(x)\\\big(\Rightarrow u'(x)=v'(x)\big)}}{=}u'(u(x))*v'(x)\,.$$
[/mm]
Hier ist aber speziell [mm] $u'(x)=u(x)=v'(x)=e^x\,.$ [/mm] Also?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:57 Di 30.06.2009 | | Autor: | oaken |
danke dir,
ich denke genug Mathe für heute!!
MfG
oaken
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke,
>
> [mm]x^x=e^x*e^{lnx}=e^x*x=e^x[/mm] + [mm]x*e^x[/mm]
> stimmt'?
was rechnest Du da? Wo ist das Ableitungszeichen?
Nach der Kettenregel ist [mm] $(u(v(x)))'=u'(v(x))*v'(x)\,.$ [/mm] Bei Dir ist
[mm] $$u(x)=e^x$$
[/mm]
und
[mm] $$v(x)=x*\ln(x)$$
[/mm]
((Denn: Es gilt ja [mm] $x^x=\big(e^{\ln(x)}\big)^x=e^{x*\ln(x)}\,.$))
[/mm]
und damit [mm] $u'(x)=e^x \Rightarrow u'(v(x))=e^{v(x)}=e^{x*\ln(x)}$. [/mm] Weiter berechnet sich [mm] $v'(x)=(x*\ln(x))'$ [/mm] nach der Produktregel zu
[mm] $$v'(x)=x'*\ln(x)+x*(\ln(x))'=1*\ln(x)+x*(1/x)=\ln(x)+1\,.$$
[/mm]
Insgesamt
[mm] $$(u(v(x)))'=\underbrace{e^{x*\ln(x)}}_{=x^x}*\big(\ln(x)+1\big)=x^x\big(\ln(x)+1\big)\,.$$
[/mm]
> und dann nächste Frage.....Zeigen Sie , dass [mm](x^{lnx})^'[/mm] =
> [mm]2ln(x)*x^{lnx-1}[/mm]
> ich habe
>
> [mm]x^{lnx}= e^{lnx^{lnx}}=x*x[/mm]
>
> f^'= 2x
>
> wo ist Fehler?
Schon direkt am Anfang [mm] ($\red{x^{lnx}= e^{lnx^{lnx}}}$ [/mm] ist i.a. falsch; wobei das darauffolgende [mm] $\red{=x*x}$ [/mm] auch falsch ist!). Es gilt:
[mm] $$x^{\ln(x)}=\big(e^{\ln(x)}\big)^{\ln(x)}=e^{\ln(x)\;*\;\ln(x)}=e^{\ln^2(x)}\,.$$
[/mm]
Weiter geht's wieder im Wesentlichen mit der Kettenregel...
Gruß,
Marcel
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