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Ableitung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:23 Di 15.12.2009
Autor: capablanca

Aufgabe
Ableitung von:

[mm] f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3} [/mm]

Hallo, beim Ableiten dieser Funktion wird der Term zu Kompliziert, was mache ich falsch?

[mm] f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3}=f_(x)=\bruch{4x-1}{(x+1)^3} [/mm]

mit Quotientenregel:

u=4x-1 -> u'=4
[mm] v=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1 [/mm] -> [mm] v'=3x^2+6x+3 [/mm]

[mm] \bruch{4*(x+1)^3 - (3x^2+6x+3)(4x-1)}{(x+1)^5} [/mm]

und jetzt alles ausmultiplizieren.

ist meine Rechnung richtig oder habe ich Fehler gemacht?

danke im vorraus

gruß Alex

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Di 15.12.2009
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ableitung von:
>  
> [mm]f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3}[/mm]
>  Hallo, beim Ableiten dieser Funktion wird der Term zu
> Kompliziert, was mache ich falsch?
>  
> [mm]f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3}=f_(x)=\bruch{4x-1}{(x+1)^3}[/mm]

Steht die 4 nun  vor dem Bruch oder hast du einfach falsch multipliziert?

> $ [mm] v=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1 [/mm] $ -> $ [mm] v'=3x^2+6x+3 [/mm] $

Warum multiplizierst du die Klammer erst aus? Leite [mm] $(x+1)^3$ [/mm] doch direkt ab, das wird viel übersichtlicher.

> $ [mm] \bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - (3x^2+6x+3)(4x-1)}{(x+1)^5} [/mm] $

Wieso steht denn [mm] $(x+1)^5$ [/mm] im Nenner?

MFG,
Gono.

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:37 Di 15.12.2009
Autor: capablanca


> Steht die 4 nun  vor dem Bruch oder hast du einfach falsch
> multipliziert?

Ja stimmt ich habe falsch multipliziert also steht im Zähler 4x-4.


> Wieso steht denn [mm](x+1)^5[/mm] im Nenner?

Im Nenner steht [mm] (x+1)^5 [/mm] weil ja  die Quotientenregel besagt [mm] \bruch{u'*v-v'*u}{v^2} [/mm] und der Nenner ist [mm] (x+1)^3 [/mm] also habe ich zwei Potenzen dazugezählt, ist das Falsch?


> Warum multiplizierst du die Klammer erst aus? Leite [mm](x+1)^3[/mm]
> doch direkt ab, das wird viel übersichtlicher.

danke für den Tipp ich kann ja [mm] (x+1)^3 [/mm] mit der Kettenregel ableiten oder?

gruß Alex

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Di 15.12.2009
Autor: Gonozal_IX


> Ja stimmt ich habe falsch multipliziert also steht im
> Zähler 4x-4.

Dann korrigier das im nächsten Versuch.

> > Wieso steht denn [mm](x+1)^5[/mm] im Nenner?
>  
> Im Nenner steht [mm](x+1)^5[/mm] weil ja  die Quotientenregel besagt
> [mm]\bruch{u'*v-v'*u}{v^2}[/mm] und der Nenner ist [mm](x+1)^3[/mm] also habe
> ich zwei Potenzen dazugezählt, ist das Falsch?

Du sollst nix "dazuzählen", du sollst quadrieren.

Was ist denn [mm] $\left((x+3)^3\right)^2$ [/mm] ?

> > Warum multiplizierst du die Klammer erst aus? Leite [mm](x+1)^3[/mm]
> > doch direkt ab, das wird viel übersichtlicher.
>  
> danke für den Tipp ich kann ja [mm](x+1)^3[/mm] mit der Kettenregel
> ableiten oder?

Ja.

Und nun fang nochmal von vorn an und mach es richtig.

MFG,
Gono.

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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:04 Di 15.12.2009
Autor: capablanca

OK Versuch Nr.2

mit Quotientenregel

u=4x-4 -> u'=4
[mm] v=(x+1)^3 [/mm] -> [mm] v'=3(x+1)^2 [/mm]

also

[mm] \bruch{4*(x+1)^3 - 3*(x+1)^2 * (4x-4)}{(x+1)^9} [/mm]

und ab jetzt sehe ich keine vereinfachung mehr also muss ich ausmultiplizieren?


gruß Alex

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Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Di 15.12.2009
Autor: Gonozal_IX


> OK Versuch Nr.2
>  
> mit Quotientenregel
>  
> u=4x-4 -> u'=4
>  [mm]v=(x+1)^3[/mm] -> [mm]v'=3(x+1)^2[/mm]

Korrekt

> also
>  
> [mm]\bruch{4*(x+1)^3 - 3*(x+1)^2 * (4x-4)}{(x+1)^9}[/mm]

Wie kommst du denn im Nenner nun auf die 9 als Potenz?
Vielleicht solltest du nochmal die []Potenzgesetze nacharbeiten.


> und ab jetzt sehe ich keine vereinfachung mehr also muss
> ich ausmultiplizieren?

Nein. Also du kannst mindestens was mit dem Nenner kürzen.

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Di 15.12.2009
Autor: capablanca

Ups na klar folgendes kommt raus:
$ [mm] \bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 3\cdot{}(x+1)^2 \cdot{} (4x-4)}{(x+1)^6} [/mm] $
dann kann ich ja kürzen und es bleibt:
[mm] \bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 3\cdot{} (4x-4)}{(x+1)^4} [/mm]
dann die 4 Ausklammern:
[mm] \bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 12\cdot{} (x-1)}{(x+1)^4} [/mm]
dann die 4 nochmal im gesammten Zähler ausklammern:
[mm] \bruch{4((x+1)^3 - 3\cdot{} (x-1))}{(x+1)^4} [/mm]
ausmultiplizieren:
[mm] 4(x^3+3x^2+3x+1-3x+3) [/mm]
und:
[mm] 4x^3+12x^2+9x+7 [/mm]

ist das richtig?

gruß Alex

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Ableitung: falsch gekürzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Di 15.12.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Alex!


> Ups na klar folgendes kommt raus:
> [mm]\bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 3\cdot{}(x+1)^2 \cdot{} (4x-4)}{(x+1)^6}[/mm]

[ok]

  

> dann kann ich ja kürzen und es bleibt:
> [mm]\bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 3\cdot{} (4x-4)}{(x+1)^4}[/mm]

[notok] Hier hast Du falsch gekürzt. Klammere am besten zunächst [mm] $(x+1)^2$ [/mm] aus.
Dann verbleibt nach dem Kürzen:
$$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{4\cdot{}(x+1) - 3\cdot{} (4x-4)}{(x+1)^4}$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


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Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Di 15.12.2009
Autor: capablanca

Danke sehr allen für die Hilfe! Ich habe die richtige Lösung rausbekommen und alles verstanden!:-)


gruß Alex





Bezug
        
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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Di 15.12.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Ableitung von:
>  
> [mm]f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3}[/mm]

> Hallo, beim Ableiten dieser Funktion wird der  
> Term zu kompliziert, was mache ich falsch?


Hallo Alex,

es gäbe hier auch einen Weg ohne Quotientenregel:

Substitution   $\ [mm] u:=x+1\qquad [/mm] u'(x)=1$

  $\ f(x)\ =\ g(u)\ =\ [mm] 4\,\frac{u-2}{u^3}\ [/mm] =\ [mm] 4\,u^{-2}-8\,u^{-3}$ [/mm]

  $\ [mm] g'(u)=-8\,u^{-3}+24\,u^{-4}\ [/mm] =\ [mm] 8\,\frac{3-u}{u^4}\ [/mm] =\ [mm] 8\,\frac{2-x}{(x+1)^4}$ [/mm]

  $\ f'(x)\ =\ g'(u)*u'(x)\ =\ [mm] \left(8\,\frac{2-x}{(x+1)^4}\right)*1\ [/mm] =\ [mm] 8\,\frac{2-x}{(x+1)^4}$ [/mm]


LG    Al-Chw.

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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Di 15.12.2009
Autor: capablanca


>
> Hallo Alex,
>  
> es gäbe hier auch einen Weg ohne Quotientenregel:
>  
> Substitution   [mm]\ u:=x+1\qquad u'(x)=1[/mm]
>  
> [mm]\ f(x)\ =\ g(u)\ =\ 4\,\frac{u-2}{u^3}\ =\ 4\,u^{-2}-8\,u^{-3}[/mm]

Hallo, danke für den Tipp, ich verstehe aber diesen Lösungsweg leider noch nicht ganz. Also u=x+1 deswegen steht im Nenner [mm] u^3 [/mm] aber wieso steht im Zähler u-2? wie kommmt man dadrauf?

>  



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Bezug
Ableitung: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Di 15.12.2009
Autor: Roadrunner

Hallo capablanca!


Wenn gilt $u \ := \ x+1$ , folgt durch Addition auf beiden Seiten mit $-2$ :
$$u-2 \ = \ x+1-2 \ = \ x-1$$
Und das ist der Term im Zähler.


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
Ableitung: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Di 15.12.2009
Autor: capablanca

danke!

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