Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mo 12.09.2011 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Es sei [mm]F:D\in\IR^n\to\IR^n[/mm] und [mm]f(x):=\bruch{1}{2}*F(x)^T\cdot{F(x)}[/mm]
Bestimme [mm]\bigtriangledown{f(x)} \ \ und \ \ \bigtriangledown^2f(x)[/mm] |
Hallo,
es ist
[mm]\bigtriangledown{f(x)}=\bruch{1}{2}(J(x)^T*F(x)+F(x)^T*J(x))=J^T(x)*F(x)[/mm] mit [mm] J(x)=\bruch{d}{dx}F(x).
[/mm]
Wie komme ich aber auf [mm]\bigtriangledown^2f(x)[/mm]?
In der Lösung steht:
[mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{d}{dx_i}J(x)*F_i(x)+J^T(x)*J(x)[/mm].
Ich habe aber keine Idee, wie man darauf kommt. [mm] $F_i$ [/mm] ist nicht näher erläutert.
Gruß
barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mo 12.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hi barsch,
[mm] $\underline{F}(\underline{x})$ [/mm] ist ein Vektor, der von einem Vektor abhängt. [mm] $F_{i}(\underline{x})$ [/mm] ist dementsprechend der $i$-te Eintrag von [mm] $\underline{F}(\underline{x})$.
[/mm]
[mm] $\underline{\underline{J}}(\underline{x}) [/mm] = [mm] \frac{d}{d\underline{x}}\underline{F}(\underline{x})$ [/mm] ist als das dyadische Produkt zwischen dem Gradienten und der vektorwertigen Funktion gemeint und damit eine Matrix.
Damit ist [mm] $\nabla f(\underline{x}) [/mm] = [mm] \sum_{ji}F_{i}(\underline{x})\partial_{j}F_{i}(\underline{x})$ [/mm] und die Ableitung davon:
[mm] $\nabla^{2}f(\underline{x}) [/mm] = [mm] \sum_{kji}(\partial_{k}F_{i}(\underline{x})\partial_{j}F_{i}(\underline{x}) [/mm] + [mm] F_{i}(\underline{x})\partial_{k}\partial_{j}F_{i}(\underline{x}))$.
[/mm]
Viele Grüße,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mo 12.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
vielen Dank. Das hilft mir.
Gruß
barsch
P.S.: Musste erst mal nachschlagen, was ein dyadische Produkt ist ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") Den Begriff hatte ich vorher noch nie gehört.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mo 12.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Im Prinzip ist das, wenn Du zwei Vektoren nicht so multiplizierst, dass ein Skalar rauskommt, sondern genau andersherum. Und es hat was mit Tensoren zu tun. Mehr wüsste ich spontan auch nicht ^^;
Viele Grüße,
AT-Colt
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