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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Ableitung
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Ableitung: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Mi 28.09.2011
Autor: dracon

Aufgabe
[mm] f(x,y)=(x^2+2x^2)e^{x^2+y^2} [/mm] ich soll die Extremstellen finden.

Hallo!
ich habe fx [mm] (x,y)=6xe^{x^2+y^2}+2xe^{x^2+y^2}(x^2+2x^2) [/mm]
fy [mm] (x,y)=2y(x^2+2x^2)e^{x^2+y^2} [/mm]
habe ich es richtig gemacht?

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mi 28.09.2011
Autor: fred97


> [mm]f(x,y)=(x^2+2x^2)e^{x^2+y^2}[/mm] ich soll die Extremstellen
> finden.

Lautet f wirklich so ? Wenn ja, warum schreibst Du dann nicht  [mm]f(x,y)=3x^2*e^{x^2+y^2}[/mm]   ??



>  Hallo!
>  ich habe fx [mm](x,y)=6xe^{x^2+y^2}+2xe^{x^2+y^2}(x^2+2x^2)[/mm]
>   fy [mm](x,y)=2y(x^2+2x^2)e^{x^2+y^2}[/mm]
>  habe ich es richtig gemacht?

Ja, wenn f so lautet: [mm]f(x,y)=3x^2*e^{x^2+y^2}[/mm]

FRED


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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Mi 28.09.2011
Autor: dracon

was mache ich, wenn ich jetzt die Extrempunkte bestimmen möchte?
[mm] 2x(3+3x^2)e^{x^2+y^2}=0 [/mm]
[mm] 2y(x^2+2x^2)e^{x^2+y^2}=0 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Mi 28.09.2011
Autor: reverend

Hallo dracon,

vielleicht gehst Du mal auf die Rückfrage ein, die Du von Fred bekommen hast: lautet f(x) wirklich so?
Das ist nämlich äußerst unwahrscheinlich. Ich tippe eher auf [mm] f(x)=(x^2+2\red{y^2})e^{x^2+y^2} [/mm]

> was mache ich, wenn ich jetzt die Extrempunkte bestimmen
> möchte?
>  [mm]2x(3+3x^2)e^{x^2+y^2}=0[/mm]
>  [mm]2y(x^2+2x^2)e^(x^2+y^2)=0[/mm]  

Das sind nicht die Ableitungen, die Du eben hattest.

Ansonsten ist ein Produkt genau dann gleich Null, wenn (mindestens) einer seiner Faktoren zu Null wird. Und [mm] e^{x^2+y^2} [/mm] wird nie Null, also...

Grüße
reverend


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Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:07 Mi 28.09.2011
Autor: dracon

danke für den Hinweis

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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Mi 28.09.2011
Autor: dracon

Aufgabe
Ich habe also die [mm] f(x,y)=(x^2+2y^2)e^{x^2+y^2} [/mm]

Hallo,
dann habe ich die Ableitungen
fy [mm] (x,y)=2y(2+x^2+2y^2)e^{x^2+y^2} [/mm]
fx [mm] (x,y)=2x(1+x^2+2y^2)e^{x^2+y^2} [/mm]
wie kriegt man Extrema, soll man den Ausdruck in den klammern o setzen ist meine vermutung.
Gruss dracon

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Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Mi 28.09.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Ich habe also die [mm]f(x,y)=(x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm]

Aha!

>  Hallo,
>  dann habe ich die Ableitungen
>  fy [mm](x,y)=2y(2+x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm] [ok]
>  fx [mm](x,y)=2x(1+x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm] [ok]

>

>  wie kriegt man Extrema, soll man den Ausdruck in den
> klammern o setzen ist meine vermutung.

[mm] f_x(x,y)=0 [/mm] für x=0 und für [mm] 1+x^2+2y^2=0. [/mm]

[mm] f_y(x,y)=0 [/mm] für y=0 und für [mm] 2+x^2+2y^2=0. [/mm]

Daraus folgt, dass [mm] f_x(x,y)=f_y(x,y)=0 [/mm] nur für x=y=0 gilt, wenn [mm] x,y\in\IR [/mm] sind. Für [mm] x,y\in\IC [/mm] gibt es vier weitere Lösungen.

Grüße
reverend


Bezug
                                                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:46 Mi 28.09.2011
Autor: fred97


> Hallo nochmal,
>  
> > Ich habe also die [mm]f(x,y)=(x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm]
>  
> Aha!
>  
> >  Hallo,

>  >  dann habe ich die Ableitungen
>  >  fy [mm](x,y)=2y(2+x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm] [ok]
>  >  fx [mm](x,y)=2x(1+x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm] [ok]
>  >
>  >  wie kriegt man Extrema, soll man den Ausdruck in den
> > klammern o setzen ist meine vermutung.
>  
> [mm]f_x(x,y)=0[/mm] für x=0 und für [mm]1+x^2+2y^2=0.[/mm]
>  
> [mm]f_y(x,y)=0[/mm] für y=0 und für [mm]2+x^2+2y^2=0.[/mm]
>  
> Daraus folgt, dass [mm]f_x(x,y)=f_y(x,y)=0[/mm] nur für x=y=0 gilt,
> wenn [mm]x,y\in\IR[/mm] sind. Für [mm]x,y\in\IC[/mm] gibt es vier weitere
> Lösungen.

Hallo rev,

für x,y [mm] \in \IC [/mm] ist f komplexwertig, aber wir haben keine Ordnung auf [mm] \IC. [/mm]

FRED

>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Mi 28.09.2011
Autor: reverend

Hallo Fred!

> > Daraus folgt, dass [mm]f_x(x,y)=f_y(x,y)=0[/mm] nur für x=y=0 gilt,
> > wenn [mm]x,y\in\IR[/mm] sind. Für [mm]x,y\in\IC[/mm] gibt es vier weitere
> > Lösungen.
>  
> Hallo rev,
>  
> für x,y [mm]\in \IC[/mm] ist f komplexwertig, aber wir haben keine
> Ordnung auf [mm]\IC.[/mm]
>  
> FRED

Oh, wirklich? Vielleicht liegt es an der Unordnung in meinem [mm] \IC-Zimmer, [/mm] dass ich da nie ein Maximum finde... ;-)

Ich wollte doch nur darauf hinweisen, dass man nie zu früh aufgeben sollte. Was man danach findet, ist nicht immer nützlich, aber (Achtung: Genitiv!) des Nachdenkens wert. Ehe sich die reelle, will sagen realpolitische, Denkweise so vollends (ursprünglich auch ein Genitiv...) einschleift.

Der Grüße zahlreiche,
rev


Bezug
                                                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Mi 28.09.2011
Autor: fred97


> Hallo nochmal,
>  
> > Ich habe also die [mm]f(x,y)=(x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm]
>  
> Aha!
>  
> >  Hallo,

>  >  dann habe ich die Ableitungen
>  >  fy [mm](x,y)=2y(2+x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm] [ok]
>  >  fx [mm](x,y)=2x(1+x^2+2y^2)e^{x^2+y^2}[/mm] [ok]
>  >
>  >  wie kriegt man Extrema, soll man den Ausdruck in den
> > klammern o setzen ist meine vermutung.
>  
> [mm]f_x(x,y)=0[/mm] für x=0 und für [mm]1+x^2+2y^2=0.[/mm]
>  
> [mm]f_y(x,y)=0[/mm] für y=0 und für [mm]2+x^2+2y^2=0.[/mm]
>  
> Daraus folgt, dass [mm]f_x(x,y)=f_y(x,y)=0[/mm] nur für x=y=0 gilt,


@dracon: versuche mal zu zeigen, dass f in (0,0) ein absolutes Minimum besitzt . Aber machs mal ohne den ganzen Hesse-Matrix- Schnickschnack.

FRED


> wenn [mm]x,y\in\IR[/mm] sind. Für [mm]x,y\in\IC[/mm] gibt es vier weitere
> Lösungen.
>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Mi 28.09.2011
Autor: dracon

Hallo,
ich möchte es mit Hesse Matrix versuchen
fxy (xy)=0
fyx (yx)=0
fxx (0,0)=2
fyy (0;0)=4
H=(2 0) positiv definit lokales Minimum und kein Sattelpunkt
   0 4

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 Mi 28.09.2011
Autor: fred97

Ohne Hesse-Schnick-Schnack:

$ [mm] f(x,y)=(x^2+2y^2)e^{x^2+y^2} \ge [/mm] 0 =f(0,0)$  für alle (x,y) [mm] \in \IR^2. [/mm]

FRED

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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Mi 28.09.2011
Autor: dracon

Hallo,
Sie haben geschrieben es gibt weitere 4 Lösungen, wie kommt man auf diese?
Grüss dracon

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung: komplexer Raum?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mi 28.09.2011
Autor: Loddar

Hallo dracon!


Dir ist aber schon aufgefallen, dass es diese erwähnten vier zusätzlichen Nullstellen der ersten Ableitungen nur in [mm] $\IC$ [/mm] (also im Raum der komplexen Zahlen) gibt?


Gruß
Loddar


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