Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo , gegeben ist folgende Kurvenschar:
[mm] f_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{a-1}{3}*x^3 [/mm] -ax
Die 1. Ableitung : [mm] \bruch{a-1}{3} *3x^2 [/mm] -a
Die 2. Ableitung : [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] *6x
Die 3. Ableitung : [mm] \bruch{a-1}{3}*6
[/mm]
Ist das richtig ? Wird [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] nicht als Faktor betrachtet ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 So 04.12.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo , gegeben ist folgende Kurvenschar:
>
> [mm]f_a(x)[/mm] = [mm]\bruch{a-1}{3}*x^3[/mm] -ax
>
> Die 1. Ableitung : [mm]\bruch{a-1}{3} *3x^2[/mm] -a
>
> Die 2. Ableitung : [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] *6x
>
> Die 3. Ableitung : [mm]\bruch{a-1}{3}*6[/mm]
>
> Ist das richtig ? Wird [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] nicht als Faktor
> betrachtet ?
ich verstehe Deine Frage nicht so ganz. Beides ist richtig - die Ableitungen stimmen und [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] ist ein (konstanter) Faktor.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Damit wollte ich eig. nur fragen , ob der Bruch als Faktor gesehen wird, wird es auch , danke für deine Antwort.
Mit dieser Schar muss ich jetzt eine komplette Kurvendiskussion durchführen:
Also erstens die Nullstellen
[mm] f_a(x) [/mm] = 0
0 = [mm] \bruch{a-1}{3}x^3 [/mm] -ax
ax= [mm] \bruch{a-1}{3}x^3
[/mm]
[mm] \bruch{ax}{x^3} [/mm] = [mm] \bruch{a-1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x^2}
[/mm]
a-1 = [mm] \bruch{3a}{x^2}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{3a}{a-1}
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{3a}{a-1}}
[/mm]
Ist das so richtig ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 04.12.2011 | | Autor: | notinX |
> Damit wollte ich eig. nur fragen , ob der Bruch als Faktor
> gesehen wird, wird es auch , danke für deine Antwort.
>
> Mit dieser Schar muss ich jetzt eine komplette
> Kurvendiskussion durchführen:
>
> Also erstens die Nullstellen
> [mm]f_a(x)[/mm] = 0
>
> 0 = [mm]\bruch{a-1}{3}x^3[/mm] -ax
>
> ax= [mm]\bruch{a-1}{3}x^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{ax}{x^3}[/mm] = [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{a}{x^2}[/mm]
>
> a-1 = [mm]\bruch{3a}{x^2}[/mm]
>
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{3a}{a-1}[/mm]
>
> [mm]x_1_2[/mm] = [mm]\pm \wurzel{\bruch{3a}{a-1}}[/mm]
>
> Ist das so richtig ?
die zwei Lösungen stimmen, aber es gibt noch eine dritte Nullstelle.
|
|
|
| |
|
Die 3. Nullstelle ist 0 , oder ?
EDIT:
Ich muss aber bei der Nullstelle eine Bedingung angeben , oder ?
a muss größer als 1 sein , sonst teile ich durch 0 , und das ist nicht definiert.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Die 3. Nullstelle ist 0 , oder ?
Jo
>
>
> EDIT:
> Ich muss aber bei der Nullstelle eine Bedingung angeben ,
> oder ?
> a muss größer als 1 sein , sonst teile ich durch 0 , und
> das ist nicht definiert.
Naja, zuerst mal muss [mm] $a\neq [/mm] 1$ sein.
Andererseits sollte [mm] $\frac{3a}{a-1}\ge [/mm] 0$ sein, sonst ist die Wurzel nicht definiert.
Für welche $a$ gilt das?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Es gibt also 2 Bedingungen ja ?
Einmal muss a ungleich 1 sein.
Und einmal muss das , was unter der Wurzel steht ( Diskriminante ?? ) größer oder gleich 0 sein ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Es gibt also 2 Bedingungen ja ?
>
> Einmal muss a ungleich 1 sein.
> Und einmal muss das , was unter der Wurzel steht (
> Diskriminante ?? ) größer oder gleich 0 sein ?
Ja!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Okay , vielen Dank.
Da ich ja eine Kurvendiskussion durchführen muss , muss ich auch die Wendepunkte bestimmen.
Bedingung : [mm] f''(x_w) [/mm] = 0
[mm] (\bruch{a-1}{3}) [/mm] 6x = 0
Wie mache ich das nun ? Egal was ich auf die andere Seite bringe , es wird durch 0 geteilt , muss ich hier was besonderes machen ? ( Ausklammern, Ausmultiplizieren , oder so ) ?
Danke schonmal im Voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 04.12.2011 | | Autor: | notinX |
> Okay , vielen Dank.
>
> Da ich ja eine Kurvendiskussion durchführen muss , muss
> ich auch die Wendepunkte bestimmen.
>
> Bedingung : [mm]f''(x_w)[/mm] = 0
> [mm](\bruch{a-1}{3})[/mm] 6x = 0
>
> Wie mache ich das nun ? Egal was ich auf die andere Seite
> bringe , es wird durch 0 geteilt , muss ich hier was
Häh? durch 0 teilen sollte man tunlichst vermeiden. Wann ist denn ein Produkt null? Wenn einer der beiden Faktoren 0 wird. Bis 6 zu null wird kannst Du lange warten, es bleibt also nur das x.
> besonderes machen ? ( Ausklammern, Ausmultiplizieren , oder
> so ) ?
>
> Danke schonmal im Voraus.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Also heißt es dann , das x = 0 ist , das ist dann der Wendepunkt ? Also W ( 0| 0 )
|
|
|
| |
|
Tut mir Leid , hab noch eine wichtige Frage :
Ich bin jetzt bei den Extremstellen , ich möchte Tief-und Hochpunkte bestimmen ;
f'(x) = 0
[mm] \bruch{a-1}{3} 3x^2 [/mm] -a = 0
[mm] \bruch{a-1}{3} 3x^2 [/mm] = a
[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{3x^2}
[/mm]
a-1 = [mm] \bruch{3a}{3x^2}
[/mm]
a-1 = [mm] \bruch{a}{x^2}
[/mm]
[mm] x^2(a-1) [/mm] = a
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{a}{a-1}
[/mm]
[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{a}{a-1}}
[/mm]
Und das setze ich in die 2. Ableitung ein :
[mm] f''(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}) [/mm] = [mm] \bruch{a-1}{3}*6\wurzel{\bruch{a}{a-1}}
[/mm]
Ist das soweit richtig ?
|
|
|
| |
|
Hallo pc_doctor,
> Tut mir Leid , hab noch eine wichtige Frage :
>
> Ich bin jetzt bei den Extremstellen , ich möchte Tief-und
> Hochpunkte bestimmen ;
>
> f'(x) = 0
> [mm]\bruch{a-1}{3} 3x^2[/mm] -a = 0
>
> [mm]\bruch{a-1}{3} 3x^2[/mm] = a
>
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{a}{3x^2}[/mm]
>
> a-1 = [mm]\bruch{3a}{3x^2}[/mm]
>
> a-1 = [mm]\bruch{a}{x^2}[/mm]
>
> [mm]x^2(a-1)[/mm] = a
>
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{a}{a-1}[/mm]
>
> [mm]x_1/2[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]x_{1,2} = \blue{\pm}\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm]
> Und das setze ich in die 2. Ableitung ein :
>
> [mm]f''(\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm] =
> [mm]\bruch{a-1}{3}*6\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig ?
Das stimmt für die positive Extremstelle. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort , aber jetzt muss ich ja [mm] {\pm}\wurzel{\bruch{a}{a-1}} [/mm] in die Ausgangsfunktion einsetzen , also für x.
Ausgangsfunktion : f (x) = [mm] \bruch{a-1}{3}*x^3-ax
[/mm]
Dann sieht das bei mir so aus:
[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] * [mm] (\wurzel{\bruch{a}{a-1}})^3 [/mm] - [mm] a*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}})
[/mm]
=> [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] * ( [mm] \bruch{a}{a-1} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{a}{a-1}}) [/mm] - a* [mm] \wurzel{\bruch{a}{a-1}}
[/mm]
=> [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] * ( [mm] \bruch{a*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}}{a-1}) [/mm] - [mm] (a*\wurzel{\bruch{a}{a-1}})
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Für welche a [mm] \in \IR [/mm] gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x- Achse. |
Schnittpunkt mit der x - Achse heißt : f(x) = 0
f(x) = [mm] \bruch{a-1}{3} x^3 [/mm] -ax
0 = [mm] \bruch{a-1}{3} x^3 [/mm] -ax
[mm] \bruch{a-1}{3} x^3 [/mm] = ax
[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{ax}{x^3}
[/mm]
[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{3a}{x^2} [/mm] = a-1
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{3a}{a-1}
[/mm]
x = [mm] \wurzel{\bruch{3a}{a-1}}
[/mm]
Man kann doch alles für a einsetzen , damit man zwei Schnittpunkte hat , außer die 0 und die 1, oder nicht ?
|
|
|
| |
|
Hallo pc_doctor,
> Für welche a [mm]\in \IR[/mm] gibt es mehr als einen Schnittpunkt
> mit der x- Achse.
>
> Schnittpunkt mit der x - Achse heißt : f(x) = 0
>
> f(x) = [mm]\bruch{a-1}{3} x^3[/mm] -ax
>
> 0 = [mm]\bruch{a-1}{3} x^3[/mm] -ax
>
> [mm]\bruch{a-1}{3} x^3[/mm] = ax
>
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{ax}{x^3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{a}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3a}{x^2}[/mm] = a-1
>
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{3a}{a-1}[/mm]
>
> x = [mm]\wurzel{\bruch{3a}{a-1}}[/mm]
>
> Man kann doch alles für a einsetzen , damit man zwei
> Schnittpunkte hat , außer die 0 und die 1, oder nicht ?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Alles klar vielen Dank , ich habe eine zweite Aufgabe ( will jetzt kein neuen Thread aufmachen ) und zwar diese hier :
Der Parameter a der Kurvenschar [mm] f_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * ( [mm] x^4-ax^2) [/mm] soll so gewählt werden , dass der Graph bei x = 1 einen Wendepunkt hat. Wie lauten dann die Koordinaten des zweiten Wendepunktes.
Wo liegen die Wendepunkte von [mm] f_a [/mm] ? Stellen Sie die Gleichungen der Wendetangenten auf.
Also zu der ersten habe ich das hier :
Bei x = 1 hat er einen Wendepunkt , d.h :
f''(x) = [mm] 3x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}a [/mm]
f''(x) = 0
3- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a = 0
[mm] -\bruch{1}{2}a [/mm] = -3
[mm] -\bruch{a}{2} [/mm] = -3
[mm] \bruch{a}{2} [/mm] = 3
a = 6.
Um die Koordinaten des zweiten Wendepunktes zu berechnen, kann ich ja für x die 1 und für a die 6 einsetzen , bekomme dann -1,5 raus , also W ( 1|-1,5) ; ist das richtig , oder habe ich einen Denkfehler ?
Und bei der zweiten Aufgabe , er will doch einfach die Koordinaten aus der oberen Aufgabe , oder nicht ? Und dann will er dass ich einfach Tangenten an diese Koordinaten lege , oder nicht ?
|
|
|
| |
|
Hallo pc_doctor,
> Alles klar vielen Dank , ich habe eine zweite Aufgabe (
> will jetzt kein neuen Thread aufmachen ) und zwar diese
> hier :
>
> Der Parameter a der Kurvenschar [mm]f_a(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * (
> [mm]x^4-ax^2)[/mm] soll so gewählt werden , dass der Graph bei x =
> 1 einen Wendepunkt hat. Wie lauten dann die Koordinaten des
> zweiten Wendepunktes.
>
> Wo liegen die Wendepunkte von [mm]f_a[/mm] ? Stellen Sie die
> Gleichungen der Wendetangenten auf.
>
> Also zu der ersten habe ich das hier :
>
> Bei x = 1 hat er einen Wendepunkt , d.h :
>
> f''(x) = [mm]3x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}a[/mm]
> f''(x) = 0
>
> 3- [mm]\bruch{1}{2}[/mm] a = 0
> [mm]-\bruch{1}{2}a[/mm] = -3
>
> [mm]-\bruch{a}{2}[/mm] = -3
>
> [mm]\bruch{a}{2}[/mm] = 3
> a = 6.
> Um die Koordinaten des zweiten Wendepunktes zu berechnen,
> kann ich ja für x die 1 und für a die 6 einsetzen ,
> bekomme dann -1,5 raus , also W ( 1|-1,5) ; ist das richtig
> , oder habe ich einen Denkfehler ?
>
Die y-Koordinate der Wendepunkte muss [mm]-\bruch{5}{4}[/mm] lauten.
> Und bei der zweiten Aufgabe , er will doch einfach die
> Koordinaten aus der oberen Aufgabe , oder nicht ? Und dann
> will er dass ich einfach Tangenten an diese Koordinaten
> lege , oder nicht ?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Die y-Koordinate der Wendepunkte muss [mm]-\bruch{5}{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> lauten.
Ich verstehe das irgendwie nicht , es müssen ja 2 Wendepunkte existieren.
Wenn ich die 1 in die Ausgangsfunktion einsetze bekomme ich jetzt auch - -\bruch{5}{4\ raus , hatte es vorher falsch eingetippt.
Das ist ja aber nur ein Wendepunkt , was ist denn mit dem zweiten ?
|
|
|
| |
|
Hallo pc_doctor,
>
> > Die y-Koordinate der Wendepunkte muss
> [mm]-\bruch{5}{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> > lauten.
>
> Ich verstehe das irgendwie nicht , es müssen ja 2
> Wendepunkte existieren.
>
>
> Wenn ich die 1 in die Ausgangsfunktion einsetze bekomme ich
> jetzt auch - -\bruch{5}{4\ raus , hatte es vorher falsch
> eingetippt.
>
> Das ist ja aber nur ein Wendepunkt , was ist denn mit dem
> zweiten ?
>
Der zweite Wendepunkt hat denselben Wert,
da in der Funktion nur gerade Exponenten vorkommen.
Grus
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 So 04.12.2011 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar MathePower vielen Dank für deine ausführliche Hilfe, hast mir sehr geholfen, schönen Abend noch.
|
|
|
| |
|
Hallo pc_doctor,
> Danke für die Antwort , aber jetzt muss ich ja
> [mm]{\pm}\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm] in die Ausgangsfunktion
> einsetzen , also für x.
> Ausgangsfunktion : f (x) = [mm]\bruch{a-1}{3}*x^3-ax[/mm]
>
> Dann sieht das bei mir so aus:
>
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] * [mm](\wurzel{\bruch{a}{a-1}})^3[/mm] -
> [mm]a*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm]
>
> => [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] * ( [mm]\bruch{a}{a-1}[/mm] *
> [mm]\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm] - a* [mm]\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm]
>
Das muss doch so lauten:
[mm]\bruch{a-1}{3} * ( \bruch{a}{a-1} * \wurzel{\bruch{a}{a-1}} - a* \wurzel{\bruch{a}{a-1}}\blue{)}[/mm]
> => [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] * (
> [mm]\bruch{a*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}}{a-1})[/mm] -
> [mm](a*\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Das ist also die y- Koordinate vom Tiefpunkt ja ?
$ [mm] \bruch{a-1}{3} \cdot{} [/mm] ( [mm] \bruch{a}{a-1} \cdot{} \wurzel{\bruch{a}{a-1}} [/mm] - [mm] a\cdot{} \wurzel{\bruch{a}{a-1}}\blue{)} [/mm] $
|
|
|
| |
|
Hallo pc-doctor,
> Das ist also die y- Koordinate vom Tiefpunkt ja ?
> [mm]\bruch{a-1}{3} \cdot{} ( \bruch{a}{a-1} \cdot{} \wurzel{\bruch{a}{a-1}} - a\cdot{} \wurzel{\bruch{a}{a-1}}\blue{)}[/mm]
Ob das ein Tiefpunkt ist, hängt offenbar vom Parameter a ab.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo pc_doctor,
> Also heißt es dann , das x = 0 ist , das ist dann der
> Wendepunkt ? Also W ( 0| 0 )
Für [mm]a \not=1[/mm] ist das ein Wendepunkt.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
