Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Seien $B,B'$ Banachräume, $u:U [mm] \to [/mm] B, v: V [mm] \to [/mm] B'$ differenzierbare Abbildungen und $A: B [mm] \times [/mm] B' [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] eine Bilinearform, die stetig und beschränkt ist. Dann gilt folgende Produktregel:
$A(u,v)'(x)=A(u'(x),v(x))+A(u(x),v'(x)).$
Meine Frage: Macht das so aufgeschrieben überhaupt Sinn? |
Hallo,
es sind doch $u'(x):U [mm] \to [/mm] B$ bzw $v$ bzw. $V [mm] \to [/mm] B'$ lineare Abbildungen. Sowas kann ich doch aber garnicht in das Skalarprodukt reinstecken.
Mache ich einen Denkfehler, oder wie ist das zu interpretieren?
Sollte man dem Ganzen nicht vielleicht eher eine Richtung mitgeben für
b in B und b' in B' also etwa so:
$A(u,v)'(x)(b,b')=A(u'(x)b,v(x))+A(u(x),v'(x)b').$
Oder ist das dann falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]B,B'[/mm] Banachräume, [mm]u:U \to B, v: V \to B'[/mm]
> differenzierbare Abbildungen und [mm]A: B \times B' \to \mathbb{R}[/mm]
> eine Bilinearform, die stetig und beschränkt ist. Dann
> gilt folgende Produktregel:
>
> [mm]A(u,v)'(x)=A(u'(x),v(x))+A(u(x),v'(x)).[/mm]
>
> Meine Frage: Macht das so aufgeschrieben überhaupt Sinn?
Nein. u ist auf U definiert und v ist auf V def. dann ist u(x), v(x) sinnlos.
> Hallo,
>
> es sind doch [mm]u'(x):U \to B[/mm] bzw [mm]v[/mm] bzw. [mm]V \to B'[/mm] lineare
> Abbildungen. Sowas kann ich doch aber garnicht in das
> Skalarprodukt reinstecken.
> Mache ich einen Denkfehler, oder wie ist das zu
> interpretieren?
> Sollte man dem Ganzen nicht vielleicht eher eine Richtung
> mitgeben für
> b in B und b' in B' also etwa so:
>
> [mm]A(u,v)'(x)(b,b')=A(u'(x)b,v(x))+A(u(x),v'(x)b').[/mm]
>
> Oder ist das dann falsch?
Du kannst definieren
$ [mm] \Phi:U \times [/mm] V [mm] \to \IR$
[/mm]
durch
[mm] $\Phi(x,y):= [/mm] A(u(x),v(y))$
Nun kannst Du Dir überlegen, ob [mm] \Phi [/mm] differenzierbar ist und ob eine "Produktregel" gilt.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Unk |
> > Seien [mm]B,B'[/mm] Banachräume, [mm]u:U \to B, v: V \to B'[/mm]
> > differenzierbare Abbildungen und [mm]A: B \times B' \to \mathbb{R}[/mm]
> > eine Bilinearform, die stetig und beschränkt ist. Dann
> > gilt folgende Produktregel:
> >
> > [mm]A(u,v)'(x)=A(u'(x),v(x))+A(u(x),v'(x)).[/mm]
> >
> > Meine Frage: Macht das so aufgeschrieben überhaupt Sinn?
>
> Nein. u ist auf U definiert und v ist auf V def. dann ist
> u(x), v(x) sinnlos.
>
Ohja, es sollte natürlich U=V sein. Ist meine Frage dann richtig, bzw. wie wäre dann die Antwort darauf?
> > Hallo,
> >
> > es sind doch [mm]u'(x):U \to B[/mm] bzw [mm]v[/mm] bzw. [mm]V \to B'[/mm] lineare
> > Abbildungen. Sowas kann ich doch aber garnicht in das
> > Skalarprodukt reinstecken.
> > Mache ich einen Denkfehler, oder wie ist das zu
> > interpretieren?
> > Sollte man dem Ganzen nicht vielleicht eher eine
> Richtung
> > mitgeben für
> > b in B und b' in B' also etwa so:
> >
> > [mm]A(u,v)'(x)(b,b')=A(u'(x)b,v(x))+A(u(x),v'(x)b').[/mm]
> >
> > Oder ist das dann falsch?
>
>
> Du kannst definieren
>
> [mm]\Phi:U \times V \to \IR[/mm]
>
> durch
>
> [mm]\Phi(x,y):= A(u(x),v(y))[/mm]
>
> Nun kannst Du Dir überlegen, ob [mm]\Phi[/mm] differenzierbar ist
> und ob eine "Produktregel" gilt.
>
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Di 20.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > > Seien [mm]B,B'[/mm] Banachräume, [mm]u:U \to B, v: V \to B'[/mm]
> > > differenzierbare Abbildungen und [mm]A: B \times B' \to \mathbb{R}[/mm]
> > > eine Bilinearform, die stetig und beschränkt ist. Dann
> > > gilt folgende Produktregel:
> > >
> > > [mm]A(u,v)'(x)=A(u'(x),v(x))+A(u(x),v'(x)).[/mm]
> > >
> > > Meine Frage: Macht das so aufgeschrieben überhaupt Sinn?
> >
> > Nein. u ist auf U definiert und v ist auf V def. dann ist
> > u(x), v(x) sinnlos.
> >
> Ohja, es sollte natürlich U=V sein. Ist meine Frage dann
> richtig, bzw. wie wäre dann die Antwort darauf?
>
> > > Hallo,
> > >
> > > es sind doch [mm]u'(x):U \to B[/mm] bzw [mm]v[/mm] bzw. [mm]V \to B'[/mm] lineare
> > > Abbildungen. Sowas kann ich doch aber garnicht in das
> > > Skalarprodukt reinstecken.
> > > Mache ich einen Denkfehler, oder wie ist das zu
> > > interpretieren?
Weder ist irgendwo gesagt, dass u und v lineare Abbildungen sind, noch ist die Rede von einem Skalarprodukt.
Mal davon abgesehen ist $A$ eine Abbildung von [mm] $B\times [/mm] B'$ nach [mm] $\IR$, [/mm] also kannst du beliebige Elemente von $B$ bzw. $B'$ reinstecken, also auch [mm] $u(x)\in [/mm] B$ und [mm] $v(x)\in [/mm] B'$ für beliebige [mm] $x\in [/mm] U$. $A(u(x),v(x))$ ist also wohldefiniert und als Funktion von x eine Abbildung von $U$ nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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