Ableitung, Diferentenquotient < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 04.06.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Die Funktion f (x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Ich soll sie mit dem Differenzquotient [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] lösen. |
Tja das war's auch schon.
Schreiben ja Freitag ne Klausur, und wollte alles nochmal durchgehen. Eben das auch. Aber irgendwie hab ich das so abgeschrieben das ich's nicht verstehe und im Buch finde ich auch nicht's *heul*
Kann euch ja mal das aufschreiben was ich habe. Mit den fragen dazu :
ms [mm] (x_0) [/mm] = [mm] \bruch{(1)/(x)-(1)/(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
= [mm] \bruch{(x_0)/(x)-(x)/(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
Den obigen Schritt verstehe ich schonmal nicht, wieso kommt man vom einem auf einmal auf den 2. Schritt?
= [mm] \bruch{x^-1 x_0^-1}{x-x_0}
[/mm]
Das verstehe ich eigentlich müsste das gleiche sein wie hier ms [mm] (x_0) [/mm] = [mm] \bruch{(1)/(x)-(1)/(x_0)}{x-x_0} [/mm] nur halt ein wenig anders geschrieben habe ich recht?
= [mm] \bruch{(x_0 - x)}{x*x_0 (x-x_0)}
[/mm]
Ab jetzt verstehe ich wirklich gar nichts mehr :(
Wie kommt das zustande? Kann auch sein das ich's falsch abgeschrieben hab aber irgendwie komisch ... :(
= [mm] \bruch{-1(-x_0+x)}{x*x_0(x-x_0)}
[/mm]
Versteh ich auch nicht, wo kommt diese - 1 aufeinmal her *heul*
= [mm] \bruch{-1}{x*x_0} [/mm]
Das ist hier ja dann sozusagen f'(x) das weiß ich ja. Das ich die Tabelle mit den "merkwürdgen" Ableitungen auswendig gelernt hab. Muss es aber in der Arbeit sicher "zu Fuß" können :(
[mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}
[/mm]
ms [mm] (x_0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{-1}{x*x_0}
[/mm]
= [mm] \bruch{-1}{x_0²}
[/mm]
Naja ist das so richtig?
Wäre ganz nett wenn mir das jemand erklären könnte.
MfG,
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Kristof,
offenstichtlich hast Du da ein paar Abschreibfehler drin, wenn die geklärt sind wird das ganze vielleicht klarer...
> Die Funktion f (x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> Ich soll sie mit dem Differenzquotient
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] lösen.
> Tja das war's auch schon.
> Schreiben ja Freitag ne Klausur, und wollte alles nochmal
> durchgehen. Eben das auch. Aber irgendwie hab ich das so
> abgeschrieben das ich's nicht verstehe und im Buch finde
> ich auch nicht's *heul*
>
> Kann euch ja mal das aufschreiben was ich habe. Mit den
> fragen dazu :
>
> ms [mm](x_0)[/mm] = [mm]\bruch{(1)/(x)-(1)/(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> = [mm]\bruch{(x_0)/(x)-(x)/(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> Den obigen Schritt verstehe ich schonmal nicht, wieso
> kommt man vom einem auf einmal auf den 2. Schritt?
Kommt man nicht, denn die zweite Zeile ist so wie sie da steht falsch!
Um die beiden Brüche im Zähler zu subtrahieren muss man sie auf den Hauptnenner [mm]x\codt x_0[/mm] bringen und dann voneinander abziehen:
[mm]\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0} = \bruch{x_0}{x\cdotx _0} - \bruch{x}{x\cdotx _0} = \bruch{x_0-x}{x\cdot x_0}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x^-1 x_0^-1}{x-x_0}[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ...wo das herkommt kann ich jetzt auch nicht sagen.....
>
> Das verstehe ich eigentlich müsste das gleiche sein wie
> hier ms [mm](x_0)[/mm] = [mm]\bruch{(1)/(x)-(1)/(x_0)}{x-x_0}[/mm] nur halt
> ein wenig anders geschrieben habe ich recht?
Wenn Du damit meinst, dass [mm]\bruch{x^-1 x_0^-1}{x-x_0} =\bruch{(1)/(x)-(1)/(x_0)}{x-x_0}[/mm], dann nicht. Denn so einfach lässt sich eine Differenz nicht in ein Produkt verwandeln.
>
> = [mm]\bruch{(x_0 - x)}{x*x_0 (x-x_0)}[/mm]
>
So, ab hier sind wir wieder bei dem, was ich vorhin gerechnet habe: Der Doppelbruch wird aufgelöst, indem man das [mm]x\cdot x_0[/mm] in den nenner holt.
> Ab jetzt verstehe ich wirklich gar nichts mehr :(
> Wie kommt das zustande? Kann auch sein das ich's falsch
> abgeschrieben hab aber irgendwie komisch ... :(
>
> = [mm]\bruch{-1(-x_0+x)}{x*x_0(x-x_0)}[/mm]
>
> Versteh ich auch nicht, wo kommt diese - 1 aufeinmal her
> *heul*
Im Zähler und im Nenner stand ja zweimal fast die gleiche Differenz, nur dass die Reihenfolge unterschiedlich war: einmal [mm] (x_0-x) [/mm] und einmal [mm] (x-x_0). [/mm] Um das zu beheben ist es ein alter Mathematikertrick, (-1) auszuklammern, wodurch sich die Reihenfolge in der Differenz umkehrt, also [mm] (x_0-x) = (-1)(x-x_0)[/mm].
Und weil jetzt im Zähler und im Nenner die gleiche Klammer steht kann man sie auch kürzen:
>
> = [mm]\bruch{-1}{x*x_0}[/mm]
>
> Das ist hier ja dann sozusagen f'(x) das weiß ich ja. Das
> ich die Tabelle mit den "merkwürdgen" Ableitungen auswendig
> gelernt hab. Muss es aber in der Arbeit sicher "zu Fuß"
> können :(
>
> [mm]f'(x_0)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm]
> ms [mm](x_0)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{-1}{x*x_0}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{-1}{x_0²}[/mm]
>
> Naja ist das so richtig?
...und das hier ist wieder vollkommen korrekt.
> Wäre ganz nett wenn mir das jemand erklären könnte.
> MfG,
>
> Kristof
>
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 So 04.06.2006 | | Autor: | Kristof |
Vielen Dank :)
Dann wär schon wieder eine Frage geklärt *g*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 04.06.2006 | | Autor: | Kristof |
Habe doch noch ein Problem gefunden :(
> Hallo Kristof,
>
> offenstichtlich hast Du da ein paar Abschreibfehler drin,
> wenn die geklärt sind wird das ganze vielleicht klarer...
>
> > Die Funktion f (x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> > Ich soll sie mit dem Differenzquotient
> > [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] lösen.
> > Tja das war's auch schon.
> > Schreiben ja Freitag ne Klausur, und wollte alles
> nochmal
> > durchgehen. Eben das auch. Aber irgendwie hab ich das so
> > abgeschrieben das ich's nicht verstehe und im Buch finde
> > ich auch nicht's *heul*
> >
> > Kann euch ja mal das aufschreiben was ich habe. Mit den
> > fragen dazu :
> >
> > ms [mm](x_0)[/mm] = [mm]\bruch{(1)/(x)-(1)/(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> > = [mm]\bruch{(x_0)/(x)-(x)/(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> > Den obigen Schritt verstehe ich schonmal nicht, wieso
> > kommt man vom einem auf einmal auf den 2. Schritt?
>
> Kommt man nicht, denn die zweite Zeile ist so wie sie da
> steht falsch!
> Um die beiden Brüche im Zähler zu subtrahieren muss man
> sie auf den Hauptnenner [mm]x\codt x_0[/mm] bringen und dann
> voneinander abziehen:
> [mm]\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x_0} = \bruch{x_0}{x\cdotx _0} - \bruch{x}{x\cdotx _0} = \bruch{x_0-x}{x\cdot x_0}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\bruch{x^-1 x_0^-1}{x-x_0}[/mm]
>
> ...wo das herkommt kann ich jetzt auch nicht
> sagen.....
> >
> > Das verstehe ich eigentlich müsste das gleiche sein wie
> > hier ms [mm](x_0)[/mm] = [mm]\bruch{(1)/(x)-(1)/(x_0)}{x-x_0}[/mm] nur halt
> > ein wenig anders geschrieben habe ich recht?
>
> Wenn Du damit meinst, dass [mm]\bruch{x^-1 x_0^-1}{x-x_0} =\bruch{(1)/(x)-(1)/(x_0)}{x-x_0}[/mm],
> dann nicht. Denn so einfach lässt sich eine Differenz nicht
> in ein Produkt verwandeln.
>
> >
> > = [mm]\bruch{(x_0 - x)}{x*x_0 (x-x_0)}[/mm]
> >
> So, ab hier sind wir wieder bei dem, was ich vorhin
> gerechnet habe: Der Doppelbruch wird aufgelöst, indem man
> das [mm]x\cdot x_0[/mm] in den nenner holt.
Welcher Doppelbruch? Da ist doch keiner mehr oder?
Das verstehe ich einfach nicht ...
> > Ab jetzt verstehe ich wirklich gar nichts mehr :(
> > Wie kommt das zustande? Kann auch sein das ich's falsch
> > abgeschrieben hab aber irgendwie komisch ... :(
> >
> > = [mm]\bruch{-1(-x_0+x)}{x*x_0(x-x_0)}[/mm]
> >
> > Versteh ich auch nicht, wo kommt diese - 1 aufeinmal her
> > *heul*
> Im Zähler und im Nenner stand ja zweimal fast die gleiche
> Differenz, nur dass die Reihenfolge unterschiedlich war:
> einmal [mm](x_0-x)[/mm] und einmal [mm](x-x_0).[/mm] Um das zu beheben ist es
> ein alter Mathematikertrick, (-1) auszuklammern, wodurch
> sich die Reihenfolge in der Differenz umkehrt, also [mm](x_0-x) = (-1)(x-x_0)[/mm].
>
> Und weil jetzt im Zähler und im Nenner die gleiche Klammer
> steht kann man sie auch kürzen:
> >
> > = [mm]\bruch{-1}{x*x_0}[/mm]
> >
> > Das ist hier ja dann sozusagen f'(x) das weiß ich ja. Das
> > ich die Tabelle mit den "merkwürdgen" Ableitungen auswendig
> > gelernt hab. Muss es aber in der Arbeit sicher "zu Fuß"
> > können :(
> >
> > [mm]f'(x_0)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm]
> > ms [mm](x_0)[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{-1}{x*x_0}[/mm]
> > =
> > [mm]\bruch{-1}{x_0²}[/mm]
> >
> > Naja ist das so richtig?
> ...und das hier ist wieder vollkommen korrekt.
>
> > Wäre ganz nett wenn mir das jemand erklären könnte.
> > MfG,
> >
> > Kristof
> >
> Gruß
>
> piet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 04.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Du hast keine Aufgabe formuliert, daher gibt es auch nichts zu lösen. Zu der gegebenen Funktion könnte man höchstens den Wert der ersten Ableitung mittels Differenzenquotient an der Setelle [mm] x_{0} [/mm] bestimmen. Das geht so:
[mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{\bruch{x_{0}-x}{x*x_{0}}}{x-x_{0}}=\bruch{-1}{x*x_{0}}\rightarrow\bruch{-1}{x_{0}^{2}} [/mm] für [mm] x\rightarrow x_{0}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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