Ableitung/Differenzierung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mo 14.01.2008 | | Autor: | schlange |
| Aufgabe | 1) Gegeben ist die Fromel f(x)= -x²+1 und dazu dn Punkt P(-0,4/f(-0,4)), wie Q(0,6/f(0,6)). Wir sollten den Punkt P als Kontrollpunkt nehmen und nur diesen einen Punkt berechnen.
2. a) sollten wir die Differenzierung auch an der Funktion f(x)= 1/2x² für [mm] x_{0}=2
[/mm]
und
b) f(x)=x²-x+2 für [mm] x_{0}=4/3
[/mm]
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Hallo,
ich habe mal wieder eine Frage an euch und hoffe auf eure Hilfe.
Zur 1. Aufgabe:
Die dazu benötigte Formel hatten wir mithilfe einer Parabel herausgefunden: [mm] (f(x_{0}+h)-f(x_{0})/h
[/mm]
Zu aller erst frage mich wie man konkret auf diese Formel kommt und wozu sie da ist.
Außerdem kam als Ergebnis 0,8-h heraus und ich weiß nicht warum.
Zu 2a)
Es kam 2+1/2h heraus und der lim(2+1/2h) für h-->0=2 ( wie geht das mit den lim eingeben?)
Wieso kommt beim lim zwei heraus und vorher 2+1/2h. Müsste der lim nicht 2,5 oder so sein?
b) Hier verstehe ich alles nicht, wie ist die Lösung? Denn ab da konnte ich nicht mehr Folgen....
So eine kleine Frage noch zum Schluss (wohl die leichteste) wie kann man eine zweite Aufgabe einfügen? Wenn ich auf zweite Auf´gabe klicke...klappt es nie.
Danke schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg schlange
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Hallo schlange und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> 1) Gegeben ist die Fromel f(x)= -x²+1 und dazu dn Punkt
du meinst: die Funktion: [mm] $f(x)=-x^2+1$
[/mm]
> P(-0,4/f(-0,4)), wie Q(0,6/f(0,6)). Wir sollten den Punkt P
> als Kontrollpunkt nehmen und nur diesen einen Punkt
> berechnen.
und sollst wohl die Steigung des Graphen im Punkt P ermitteln?
>
> 2. a) sollten wir die Differenzierung auch an der Funktion
> f(x)= 1/2x² für [mm]x_{0}=2[/mm]
> und
> b) f(x)=x²-x+2 für [mm]x_{0}=4/3[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe mal wieder eine Frage an euch und hoffe auf eure
> Hilfe.
>
> Zur 1. Aufgabe:
>
> Die dazu benötigte Formel hatten wir mithilfe einer Parabel
> herausgefunden: [mm](f(x_{0}+h)-f(x_{0})/h[/mm]
hier beschreibst du [falsch], wie man die  Sekantensteigung einer Funktion berechnen kann:
[mm] m_s(x_0)=\underbrace{\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}_{\text{entweder so}}=\underbrace{\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}_{\text{oder so}}
[/mm]
Die Steigung des Graphen ermittelt man dann mit dem Grenzwert: [mm] \lim_{x\to x_0}{m_s(x_0)}
[/mm]
>
> Zu aller erst frage mich wie man konkret auf diese Formel
> kommt und wozu sie da ist.
Das solltest du ausführlich in deinem Schulbuch nachlesen können...
Es hier aufzuschreiben, ist zu aufwendig.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) in der Wikipedia
da ist es ganz gut erklärt.
>
> Außerdem kam als Ergebnis 0,8-h heraus und ich weiß nicht
> warum.
das ist auch nur teilweise richtig;
so weit zunächst mal.
>
> So eine kleine Frage noch zum Schluss (wohl die leichteste)
> wie kann man eine zweite Aufgabe einfügen? Wenn ich auf
> zweite Auf´gabe klicke...klappt es nie.
Es ist gar nicht günstig, in einen Post gleich zwei unterschiedliche Aufgaben zu schreiben:
1. solltest du dich mit einer aufgabe intensiv beschäftigen, beovr du uns die nächste präsentierst,
2. erhöht sich deine Chance, schnell eine Antwort zu bekommen, wenn in einem Post nur eine Aufgabe steht. Auch wir können uns "vernünftig" nur mit einer Aufgabe auseinander setzen!
> lg schlange
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Di 15.01.2008 | | Autor: | schlange |
| Aufgabe | 1) Gegeben ist die Funktion f(x)= -x²+1 und dazu dn Punkt
P(-0,4/f(-0,4)), wie Q(0,6/f(0,6)). Wir sollten den Punkt P
als Kontrollpunkt nehmen und nur diesen einen Punkt
berechnen. |
Hallo, danke für deine Tipps. Ich kenne mich hier noch nicht so gut aus...und ich wusste nicht wie ich die Formel richtig eintragen konnte.
Zu erstens:
Ja wir sollten die Steigung des Graphen durch den Punkt P berechnen.
Formel:$ [mm] m_s(x_0)=\underbrace{\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}
[/mm]
(diesmal richtig?)
Könnt ihr mir da erklären, wie man diese Aufgabe ermittelt bzw. berechnet?
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Hallo schlange,
> 1) Gegeben ist die Funktion f(x)= -x²+1 und dazu dn Punkt
>
> P(-0,4/f(-0,4)), wie Q(0,6/f(0,6)). Wir sollten den Punkt P
> als Kontrollpunkt nehmen und nur diesen einen Punkt
> berechnen.
> Hallo, danke für deine Tipps. Ich kenne mich hier noch
> nicht so gut aus...und ich wusste nicht wie ich die Formel
> richtig eintragen konnte.
>
>
> Zu erstens:
>
> Ja wir sollten die Steigung des Graphen durch den Punkt P
> berechnen.
>
> Formel: [mm]m_s(x_0)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}[/mm]
Das ist die Sekantensteigung durch zwei Punkte P und [mm] P_0 [/mm] für eine beliebige Funktion.
Das musst du nun auf die gegebene Funktion anwenden:
[mm] m_s(x_0)=\bruch{[-x^2+1]-[-x_0^2+1]}{x-x_0}
[/mm]
> Könnt ihr mir da erklären, wie man diese Aufgabe ermittelt
> bzw. berechnet?
>
Diese Gleichung kann man aufstellen, solange [mm] x\ne x_0 [/mm] ist.
Nun löse mal die [..]-Klammern auf und mache Polynomdivision. Dann "verschwindet" der Nenner und du kannst zum Grenzwert, der Tangentensteigung, übergehen:
[mm] m_t(x_0)=\lim_{x\to x_0}{\bruch{[-x^2+1]-[-x_0^2+1]}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}{\text{.. hast du berechnet..}}
[/mm]
da jetzt der Nenner nicht mehr 0 werden kann, darfst du auch [mm] x=x_0 [/mm] einsetzen und erhältst die Steigung an der Stelle [mm] x_0 [/mm] .
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Mo 21.01.2008 | | Autor: | schlange |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hallo informix,
also muss ich in diese Formel $ m_s(x_0)=\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} $ die Funktion f(x)=x²+1 einsetzen?
und wieso ist es bei dir (x_0-1)?
ich dachte das würde so in etwa gehen:
$ f(x_0)=\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} $
und die Funktion da jetzt einsetzen:
$ f(x_0)=\bruch{(x_0+h)²-f(x_0)²}{h}} $
=$ \bruch{x_0²+2x_0h+h²-x_0²}{h}} $
=$ \bruch{h(2x_0+h²)}{h}} $
=$ {2x_0+h} $
$ f(x_0)=\lim_{h\to 0}{2x_0+h}=2x_0
geht das nicht irgendwie so oder habe ich da etwas heute falsch verstanden??
lg schlange
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Hallo schlange!
Oben hieß Deine Funktion aber noch $f(x) \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] x^2+1$ [/mm] .
Und Du sollst ja hier auch konkret mit [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -0.4$ rechnen. Von daher lautet Dein Diffenzenquotient:
$$f'(-0.4) \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(-0.4+h)-f(-0.4)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\left[-(-0.4+h)^2+1\right]-\left[(-0.4)^2+1\right]}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-(0.16-0.8*h+h^2)+1-0.16-1}{h} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mo 21.01.2008 | | Autor: | schlange |
Ohhh
danke, aber wenn es -x sein soll und [mm] x_0= [/mm] -0,4 muss es dann nicht f(-(-0,49) + h) heißen?
Und ansonsten war das gerechnete richtig??
lg schlange
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Hallo schlange!
Ich haben meinen Tippfehler von oben nun korrigiert.
In Deiner Rechnung musst Du nun entsprechende fortfahren. Prinzipiell hast Du es schon richtig gemacht. Allerdings hattest Du die Funktionsterme falsch eingesetzt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mo 21.01.2008 | | Autor: | schlange |
Hi Roadrunner,
wie meinst du das mit dem Funktionsterm falsch eingesetzt?? Was genau habe ich dabei falsch gemacht?
lg schlange
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Hallo schlange,
> Hi Roadrunner,
>
> wie meinst du das mit dem Funktionsterm falsch eingesetzt??
> Was genau habe ich dabei falsch gemacht?
>
Du solltest genauer hinsehen, wenn wir dir was vorrechnen... 
Fassen wir zusammen:
für f(x)=-x^2+1 soll am Punkt P(-0,4/f(-0,4)) die Steigung bestimmt werden.
Du hast gerechnet:
$ \red{f(x_0)\ne}m_s(x_0)=\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} $
und die Funktion da jetzt einsetzen:
$ f(x_0)=\bruch{(x_0+h)²-f(x_0)²}{h}} $
so heißt deine Funktion aber nicht!!!
sondern:
$m_s(x_0)=\bruch{[-(x_0+h)^2+1]-[-x_0^2+1]}{h}$
ok, die Einsen heben sich auf, aber das Vorzeichen fehlt immer noch:
=$ \bruch{x_0²+2x_0h+h²-x_0²}{h}} $
=$ \bruch{h(2x_0+h²)}{h}} $
=$ {2x_0+h} $
$ f(x_0)=\lim_{h\to 0}{2x_0+h}=2x_0 $
Im Prinzip hast du aber richtig umgeformt, so dass schließlich dort steht: $$m_s(x_0)=2x_0+h$$
jetzt noch schnell den Grenzwert für h\to 0 bilden: $$\lim_{h\to 0}{2x_0+h}=2x_0$$
fertig!
Du hast dir die Sache schwerer gemacht als verlangt: du solltest mit x_0=-0,4 rechnen; aber so wird die Struktur der Herleitung viel deutlicher - also gar nicht dumm!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 21.01.2008 | | Autor: | schlange |
Hm ok,
nun zur zweiten Aufgabe.
Muss ich dann diese Funktion x²-x+2 für [mm] x_0=4/3 [/mm] ind diese Form $ [mm] m_s(x_0)=\bruch{[-(x_0+h)^2+1]-[-x_0^2+1]}{h} [/mm] $einfügen?
Dem zufolge:
$ [mm] m_s(x_0)=\bruch{[-(4/3+h)^2+2]-[4/3]-[-4/3^2+2]}{h} [/mm] $ ???
lg schlange
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Hallo schlange,
> Hm ok,
>
> nun zur zweiten Aufgabe.
> Muss ich dann diese Funktion x²-x+2 für [mm]x_0=4/3[/mm] ind diese
> Form [mm]m_s(x_0)=\bruch{[-(x_0+h)^2+1]-[-x_0^2+1]}{h} [/mm]einfügen?
>
du hast doch jetzt eine andere Funktion gegeben!!
> Dem zufolge:
>
> [mm]m_s(x_0)=\bruch{[-(4/3+h)^2+2]-[4/3]-[-4/3^2+2]}{h}[/mm] ??? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
[mm] f(x)=x^2-x+2 [/mm] für $ [mm] x_{0}=4/3 [/mm] $
mit $ [mm] m_s(x_0)=\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
[/mm]
daher: $ [mm] m_s(x_0)=\bruch{[(x_0+h)^2-(x_0+h)+2]-[(x_0)^2-x_0+2]}{h}$
[/mm]
jetzt den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen, du solltest wieder ein h ausklammern und dann kürzen können...
Grenzwert bilden ...
Ergebnis: [mm] f'(x_0)=2x_0-1 [/mm] zur Kontrolle...
Jetzt bist du wieder dran...
Gruß informix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:47 Mi 23.01.2008 | | Autor: | schlange |
Hallo,
hm also eigentlich das selbe wie in der ersten Aufgabe blos mit einer Hochzahl, das [(x²+h)- x+h+2) und dies dann nochmal minus (x²-x+2) und alles durch h...
in dem Sinne muss man alles x berücksichtigen und das n (in dem Fall 2) an der richtigen stelle addieren.
$ [mm] f'(x_0)=2x_0-1 [/mm] $
in dem Fall wäre der
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}2x_0-1=2\*4/3-1
[/mm]
=1,67
Ich glaube ich hab es langsam verstanden^^...wenn das jetzt richtig ist!!
Danke an alle für eure wunderbare Hilfe!!
Mfg schlange
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Do 24.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schlange!
> hm also eigentlich das selbe wie in der ersten Aufgabe blos
> mit einer Hochzahl, das [(x²+h)- x+h+2) und dies dann
> nochmal minus (x²-x+2) und alles durch h...
Diese Formulierung ist "etwas" undurchsichtig (zumindest für mich ...) .
Die vollständige Formel für diese Funktion mit allgemeinem [mm] $x_0$ [/mm] hat ja informix hier gepostet.
> [mm]f'(x_0)=2x_0-1[/mm]
>
> in dem Fall wäre der
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}2x_0-1=2\*4/3-1[/mm]
> =1,67
Wenn Du auch mit der langen Berechnungsmethode auf dieses Ergebnis kommst, scheinst Du wirklich alles richtig gemacht und verstanden zu haben.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Fr 25.01.2008 | | Autor: | schlange |
Hallo an alle,
danke das ihr mir so gut geholfen habt. Ich glaube wirklich das ich es soweit ganz ghut verstanden habe.
mfg schlange
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