Ableitung II < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe Probleme bei der Ableitung einer Funktion und hoffe ihr könnt mir helfen.
Also ich soll die Funktion f(x)= [mm] \wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} } [/mm] ableiten.
Hier mal mein Rechenweg.
Kettenregel:
g(x)= [mm] x^{ \bruch{1}{2} } [/mm] g'(x)= [mm] \bruch{1}{2} x^{ \bruch{-1}{2} }
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{x+1}{x-1} [/mm] f'(x)= [mm] \bruch{-2x}{(x-1)^{2}}
[/mm]
Zwischenrechnung für f'(x)
Quotientenregel [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm]
f(x) = x+1 f'(x)= x
g(x)= x-1 g'(x)= x
[mm] \bruch{(x+1)*x - (x-1)*x) }{(x-1)^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-2x}{(x-1)^{2}}
[/mm]
Zwischenrechnung Ende
Dann kommt bei mir am Ende raus:
- [mm] \wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} } [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}* \bruch{-2x}{(x-1)^{2}}
[/mm]
So das Ergebnis sollte aber :
[mm] \bruch{- \wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }}{x^{2}-1} [/mm] lauten.
Ich komme nicht von meinem Ergebnis auf das andere Ergebnis. Wäre dankbar wenn mir jemand sagen könnte wo mein Fehler liegt.
gruss
Arne
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mi 17.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
> ich habe Probleme bei der Ableitung einer Funktion und
> hoffe ihr könnt mir helfen.
> Also ich soll die Funktion f(x)= [mm]\wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }[/mm]
> ableiten.
>
> Hier mal mein Rechenweg.
>
> Kettenregel:
> g(x)= [mm]x^{ \bruch{1}{2} }[/mm] g'(x)= [mm]\bruch{1}{2} x^{ \bruch{-1}{2} }[/mm]
>
> f(x)= [mm]\bruch{x+1}{x-1}[/mm] f'(x)=
> [mm]\bruch{-2x}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
>
>
> Zwischenrechnung für f'(x)
>
> Quotientenregel [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
>
> f(x) = x+1 f'(x)= x
> g(x)= x-1 g'(x)= x
Hier ist der Fehler. die Ableitung vom Zähler und Nenner sind 1.
Ach ja: Und das - am Anfang ist zuviel.
>
> [mm]\bruch{(x+1)*x - (x-1)*x) }{(x-1)^{2}}[/mm]
Also: [mm] h(x)=\bruch{x+1}{x-1}
[/mm]
[mm] h'(x)=\bruch{(x+1)*1-((x-1)*1)}{(x-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{(x-1)²}
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-2x}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
>
> Zwischenrechnung Ende
>
>
> Dann kommt bei mir am Ende raus:
>
> - [mm]\wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}* \bruch{-2x}{(x-1)^{2}}[/mm]
Also dann:
[mm] \red{+}\wurzel{\bruch{x+1}{x-1}}*\bruch{1}{2}*\bruch{-2}{(x-1)^{2}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}}*\bruch{1}{(x-1)^{2}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{\wurzel{x+1}}{(x-1)²*\wurzel{x-1}}
[/mm]
>
>
> So das Ergebnis sollte aber :
> [mm]\bruch{- \wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }}{x^{2}-1}[/mm] lauten.
>
> Ich komme nicht von meinem Ergebnis auf das andere
> Ergebnis. Wäre dankbar wenn mir jemand sagen könnte wo mein
> Fehler liegt.
>
>
> gruss
> Arne
Kommst du damit jetzt erstmal weiter?
Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:04 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
> Hallo
>
> > Hallo,
> > ich habe Probleme bei der Ableitung einer Funktion und
> > hoffe ihr könnt mir helfen.
> > Also ich soll die Funktion f(x)= [mm]\wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }[/mm]
> > ableiten.
> >
> > Hier mal mein Rechenweg.
> >
> > Kettenregel:
> > g(x)= [mm]x^{ \bruch{1}{2} }[/mm] g'(x)= [mm]\bruch{1}{2} x^{ \bruch{-1}{2} }[/mm]
>
> >
> > f(x)= [mm]\bruch{x+1}{x-1}[/mm] f'(x)=
> > [mm]\bruch{-2x}{(x-1)^{2}}[/mm]
> >
> >
> >
> > Zwischenrechnung für f'(x)
> >
> > Quotientenregel [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
> >
> > f(x) = x+1 f'(x)= x
> > g(x)= x-1 g'(x)= x
>
> Hier ist der Fehler. die Ableitung vom Zähler und Nenner
> sind 1.
>
> Ach ja: Und das - am Anfang ist zuviel.
>
> >
> > [mm]\bruch{(x+1)*x - (x-1)*x) }{(x-1)^{2}}[/mm]
>
>
> Also: [mm]h(x)=\bruch{x+1}{x-1}[/mm]
> [mm]h'(x)=\bruch{(x+1)*1-((x-1)*1)}{(x-1)²}[/mm]
> [mm]=\bruch{-2}{(x-1)²}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\bruch{-2x}{(x-1)^{2}}[/mm]
> >
> >
> > Zwischenrechnung Ende
> >
> >
> > Dann kommt bei mir am Ende raus:
> >
> > - [mm]\wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}* \bruch{-2x}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
>
> Also dann:
>
> [mm]\red{+}\wurzel{\bruch{x+1}{x-1}}*\bruch{1}{2}*\bruch{-2}{(x-1)^{2}}[/mm]
> [mm]=-\bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}}*\bruch{1}{(x-1)^{2}}[/mm]
> [mm]=-\bruch{\wurzel{x+1}}{(x-1)²*\wurzel{x-1}}[/mm]
>
> Hier müsste es im Nenner anstatt zur Anwendung des zweiten Binoms [mm] (x-1)^{2} [/mm] zur Anwendung des dritten (x+1)(x-1) kommen, um den gewünschten Ausdruck zu erhalten (siehe zweite Antwort auf die ursprüngliche Frage). Der Fehler ist auf die Bildung der Ableitung im Nenner mit Hilfe der Quotientenregel zurückzuführen. Es gilt: [mm] (g(x))^{2}=(\wurzel{x-1})^{2}=(x-1)
[/mm]
> >
> >
> > So das Ergebnis sollte aber :
> > [mm]\bruch{- \wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }}{x^{2}-1}[/mm] lauten.
> >
> > Ich komme nicht von meinem Ergebnis auf das andere
> > Ergebnis. Wäre dankbar wenn mir jemand sagen könnte wo mein
> > Fehler liegt.
> >
> >
> > gruss
> > Arne
>
> Kommst du damit jetzt erstmal weiter?
>
> Marius
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Hallo starbak05!
Wir haben [mm] f(x)=\bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] liefert im Zuge der Ketten- und Quotientenregel
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{x-1}}{\wurzel{x+1}}-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}}}{x-1}
[/mm]
Wir klammern [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus, bilden im Zähler des großen Bruchs einen gemeinsamen Bruch und erhalten
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}(\bruch{\wurzel{x-1}\wurzel{x-1}-\wurzel{x+1}\wurzel{x+1}}{\wurzel{x+1}\wurzel{x-1}})}{x-1}
[/mm]
Wir eliminieren oben die Wurzeln, vereinfachen dort die Klammern und kürzen. Es ergibt sich also
[mm] -\bruch{1}{\wurzel{x+1}\wurzel{x-1}(x-1)}
[/mm]
Wir multiplizieren Zähler und Nenner jeweils mit [mm] \wurzel{x+1}, [/mm] so dass sich im Nenner wieder die Wurzeln eliminieren. Nun haben wir
[mm] -\bruch{\wurzel{x+1}}{(x+1)(x-1)\wurzel{x-1}}
[/mm]
Schließlich liefert das 3. Binom sowie das jeweilige Multiplizieren von Zähler und Nenner mit dem Faktor [mm] \bruch{1}{\wurzel{x-1}} [/mm] das gewünschte Ergebnis
[mm] \bruch{-\bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}} }{x^{2}-1}
[/mm]
Gruß, Marcel
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Blicke nicht so ganz durch wie du auf
$ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{x-1}}{\wurzel{x+1}}-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}}}{x-1} [/mm] $ kommst.
Wenn ich meinen Fehler korrigiere erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{x+1}{x-1})^{- \bruch{1}{2}}*\bruch{-2}{(x-1)^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }}* \bruch{-1}{(x-1)^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-\wurzel{x-1}}{\wurzel{x+1}*(x-1)^{2}}
[/mm]
Aber auch hier komme ich nicht weiter. Kann man diese Gleichung nicht passend umformen (möglichst unkompliziert)?
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Hallo,
[mm] f(x)=\bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}}
[/mm]
[mm] u=\wurzel{x+1}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{1}{2*\wurzel{x+1}}
[/mm]
[mm] v=\wurzel{x-1}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{2*\wurzel{x-1}}
[/mm]
jetzt mache mit der Quotientenregel weiter, du bekommst die Ableitung von Marcel08,
Steffi
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> Blicke nicht so ganz durch wie du auf
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{x-1}}{\wurzel{x+1}}-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{x+1}}{\wurzel{x-1}}}{x-1}[/mm]
> kommst.
>
> Wenn ich meinen Fehler korrigiere erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*(\bruch{x+1}{x-1})^{- \bruch{1}{2}}*\bruch{-2}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{ \bruch{x+1}{x-1} }}* \bruch{-1}{(x-1)^{2}}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{-\wurzel{x-1}}{\wurzel{x+1}*(x-1)^{2}}[/mm]
>
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>
> Aber auch hier komme ich nicht weiter. Kann man diese
> Gleichung nicht passend umformen (möglichst unkompliziert)?
>
Jetzt hast du ja [mm] \bruch{-\wurzel{x-1}}{\wurzel{x+1}*(x-1)(x-1)}\gdw\bruch{-1}{\wurzel{x+1}*\wurzel{x-1}(x-1)}
[/mm]
>
>
Reicht das soweit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Fr 19.12.2008 | | Autor: | starbak05 |
Ja,
danke jetzt hab ichs verstanden.
gruss
Arne
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