Ableitung Logarithmusfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Stefan04 |
Hallo Liebe Forumuser,
bin durch Zufall auf dieses Forum gestoßen und habe nun ein kleines Problem mit der Ableitung der Logarithmusfunkton.
mir ist bekannt, dass (lnx)' = 1/x ist
nun habe ich jedoch mit den dazugehörigen Aufgaben ein paar Probleme, die eher ihren Ursprung in der elementar Mathematik haben.
Lösungsvorschläge sind in den Klammern, bitte um ggf, Berichtigung + Erläuterung.
Es müssen jeweils die 1. und 2. Ableitung gebildet werden!
Hier die Aufgaben:
(1). f(x)=ln(x+1) {ist ln(x+1) = lnx + ln1 ; also ---> f '(x)=1/x + 1 ?
f ''(x)= [mm] -x^2 [/mm] }
(2). f(x)=2ln(2x) {f '(x)= 2 *2x/2 = x ; f ''(x) = x ? }
(3). f(x)=log x von basis 3 + [mm] 3^x [/mm] { f '(x)= 1/ln3 + 1/x + ln3 [mm] *3^x [/mm]
f ''(x) = - x^-2 [mm] (ln3)^2 [/mm] * [mm] 3^x [/mm] ?}
(4). f(x)= e^2lnx + ln(e^2x) {f '(x)=lne * e^2lnx + ... ? }
Danke Antworten
Gruß Stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi Steffan
>
> mir ist bekannt, dass (lnx)' = 1/x ist
>
Mehr brauchst du hierbei auch wirklich nicht zu wissen!!!
>
> (1). f(x)=ln(x+1) {ist ln(x+1) = lnx + ln1 ; also
> ---> f '(x)=1/x + 1 ?
Leider nicht. Es gibt es nur das Gesetz:
$_c log\,a + _c log\,b = _c log\,(ab)$
und nicht etwa
$_c log\,a \,*\, _c log\,b = _c log\,(a+b)$
Aber so schwer musst du es dir garnicht machen.
substituiere einfach u=(x+1)
Jetzt kommst du auf: $f(x)=ln(u) \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{u}$
Zum Schluss wieder resubstituieren:
$u=(x+1) \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{u}=\frac{1}{x+1}$
Meißt ziehmlich entsprechend funktionieren auch die anderen Aufgaben, versuch sie jetzt doch mal selbst und sag wie du damit zurecht kommst.
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan,
erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die o.g. genannte Lösung von Teletubyyy ist nicht ganz richtig.
Wenn Du substituierst, musst Du auch noch die Kettenregel beim Ableiten anwenden.
Im genannten Beispiel - Aufgabe (1) - macht das keinen Unterschied, da gilt $u' = 1$, aber ansonsten wird Dein Ergebnis bei Aufgabe (2) garantiert falsch.
Bei Aufgabe (2) musst Du immer das ganze Argument der ln-Funktion in den Nenner der Ableitungsfunktion "übernehmen" ...
Bei Aufgabe (3) lautet die allgemeine Ableitungsformel für
[mm] $({log}_{b}x)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{x*ln b}$.
[/mm]
Der hintere Teil mit [mm] $3^x$ [/mm] ist korrekt abgeleitet worden.
Bei Aufgabe (4) solltest Du erstmal vereinfachen (Potenzgesetz, Definition von e-Funktion bzw. ln). Dann sind die Ableitungen ziemlich einfach.
Grüße Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 21.11.2004 | | Autor: | Stefan04 |
Hallo,
habe mich mal rangesetzt und folgendes rausbekommen:
(1). f(x)=ln(x+1)
f '(x) = [mm] \bruch{1}{x+1}
[/mm]
f ''(x) = [mm] \bruch{x+1 - 1*(1)}{(x+1)^{2}}
[/mm]
(2). f(x) = 2ln(2x)
f '(x) = [mm] \bruch{1}{4x}
[/mm]
f '' (x) = [mm] \bruch{4x - 4}{8x^{2}}
[/mm]
(3). f '(x) = [mm] \bruch{1}{ln3*x} [/mm] + [mm] \ln3*3^{3}
[/mm]
f ''(x) = [mm] \bruch{ln3*x-1}{(ln3*x)^{2} } [/mm] + \ [mm] {(ln3)^{2} * 3^x}
[/mm]
(4). bin ich gescheitert :/
Gruß Stefan
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> habe mich mal rangesetzt und folgendes rausbekommen:
>
> (1). f(x)=ln(x+1)
> f '(x) = [mm]\bruch{1}{x+1}
[/mm]
> f ''(x) = [mm]\bruch{x+1 - 1*(1)}{(x+1)^{2}}
[/mm]
Anscheinend wolltest du die Quotientenregel anwenden, aber die Ableitung von 1 ist 0.
Also: f ''(x) = [mm] -\bruch{1}{(x+1)^{2}} [/mm]
>
> (2). f(x) = 2ln(2x)
> f '(x) = [mm]\bruch{1}{4x}
[/mm]
Also die Kettenregel solltest du dir noch mal anschauen. Es gilt:
f(x)=h(g(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)=h'(g(x))*g'(x)
also in deinem Fall: h(x)=2ln(x) und g(x)=2x
also: [mm] f'(x)=2*\frac{1}{2x}*2 [/mm]
> (3). f(x)=log_3x + [mm] 3^x
[/mm]
f '(x) = [mm]\bruch{1}{ln3*x}[/mm] + [mm]\ln3*3^{3}
[/mm]
[blue]Hast dich sicher nur vertippt und [mm] meinst:[\blue] [/mm] f '(x) = [mm]\bruch{1}{ln3*x}[/mm] + [mm][mm] \ln3*3^{x}
[/mm]
> f ''(x) = [mm]\bruch{ln3*x-1}{(ln3*x)^{2} }[/mm] + \
> [mm]{(ln3)^{2} * 3^x}
[/mm]
>
> (4). bin ich gescheitert :/
>
------------------------------------------------------------------------------
f(x)= e^2lnx + ln(e^2x) [mm] =x^2+2x [/mm]
------------------------------------------------------------------------------
> Gruß Stefan
>
mfg Verena
|
|
|
|
